跳表

跳表

结合链表和二分法的特点，将链表进行加工，创造一个二者的结合体：

1. 链表从头节点到尾节点是有序的
2. 可以进行跳跃查找（形如二分法），降低时间复杂度

跳表其实也是一种通过“空间来换取时间”的一个算法，通过在每个节点中增加了向前的指针，从而提升查找的效率。

跳表的性质
(1) 由很多层结构组成，level是通过一定的概率随机产生的
(2) 每一层都是一个有序的链表，默认是升序
(3) 最底层(Level 1)的链表包含所有元素
(4) 如果一个元素出现在Level i 的链表中，则它在Level i 之下的链表也都会出现
(5) 每个节点包含两个指针，一个指向同一链表中的下一个元素，一个指向下面一层的元素

next数组
  一个有序的链表，选取它的一半的节点用来建索引，这样如果插入一个节点，比较的次数就减少了一半。这种做法，虽然增加了50%的空间，但是性能提高了一倍。

  通常会定义跳表的级数，即层数-1（最下面一级是0级）。所以这张图表示的跳表的级数是（0， 1， 2）。而在第2级的节点（比如node5)，它的next数组大小就是(2 + 1) == 3， 在第1级的节点（比如node4），它的next数组的大小就是（1 + 1） == 2， 在第0级的节点（比如node3），它的next数组大小是1。对于第2级的node5来说：

node5->next[2] == tailNode;
node5->next[1] == node7;
node5->next[0] == node6;

对于第1级的node2来说：

node2->next[1] == node4;
node2->next[0] == node3;

查找

  headerNode和tailNode是人为添加的两端节点，很像存在头节点和尾节点的链表，它们不存储需要保存的有用的数据，仅仅是用来判断是否是头和尾。当跳表为空时，级数为0，headerNode->next[0] == tailNode。比较的时候的三种情况，以targetNode->next[i]->element和theElement为例：

1.小于：令targetNode = targetNode->next[i]; //第i级链表的下一个
2.大于：向下降级，i- - //不改变targetNode
3.等于：向下降级，i- - //不改变targetNode

最后，再次比较targetNode->next[0]和theElement，判断是否找到。所以整个运算下来，targetNode是要查找的节点前面那个节点。查找的时间复杂度为 O(logn)。

插入
  当有2级索引时，新的节点先和2级索引比较，再和1级索引比较，最后和原链表比较，最终插到原链表中。当节点很多时，比较次数是原来的四分之一。
  当节点足够多的时候，还可以继续加索引，保证每一层索引数是低级索引的一半。当这一层只剩两个节点时，就没有必要再建索引了，因为一个节点没有比较的意义。
  当很多节点插入时，上层索引节点已经不够用，需要在新节点中选取一部分节点提到上一层，跳表的设计者用“抛硬币”的方法选取节点是否提拔，也就是随机的方式，每个节点有50%概率会提拔。这样虽然不会让索引绝对均匀分布，但也会大体上是均匀的。综上，插入的步骤：

1. 新节点和各层索引节点逐一比较，确定原链表的插入位置。O（logN）
2. 把索引插入到原链表。O（1）
3. 利用抛硬币的随机方式，决定新节点是否提升为上一级索引。结果为“正”则提升并继续抛硬币，结果为“负”则停止。O（logN）

总体上，跳表插入操作的时间复杂度是O（logN），而这种数据结构所占空间是2N，既空间复杂度是 O（N）。

删除

1. 自上而下，查找第一次出现节点的索引，并逐层找到每一层对应的节点。O（logN）
2. 删除每一层查找到的节点，如果该层只剩下1个节点，删除整个一层（原链表除外）。O（logN）

总体上，跳表删除操作的时间复杂度是O（logN）。

跳表高效地动态插入和删除

  在跳表中，查找的时间复杂度为 O(logn)，因此，动态插入数据的时间复杂度也就是 O(logn)了。从链表中删除结点的时候，如果结点在索引中也有出现，那么除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。
  当不停地往跳表中插入数据的时候，如果不更新索引，就有可能出现某两个结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化为单链表。因此，需要某种手段来维护索引与原始链表大小之间的平衡，也就是说，如果链表结点变多了，索引值就相应地增加一些。
  当往跳表中插入数据的时候，可以选择同时也将这个数据插入到部分索引层中。而插入到哪些索引层中，则由一个随机函数生成一个随机数字来决定。如果这个数字为 K，那就将数据插入到第一级到第 K 级索引中。

Redis用跳表来实现有序集合而不是红黑树？

  Redis 中的有序集合支持的核心操作主要有：插入一个数据；删除一个数据；查找一个数据；按照区间查找数据；迭代输出有序序列。
  其中，插入、删除、查找以及迭代输出有序序列这几个操作，而红黑树的插入很可能会涉及多个结点的旋转、变色操作。而SkipList底层是用链表实现的，只需要修改相邻节点的指针，操作简单又快速。
  范围查找：skiplist和各种平衡树（如AVL、红黑树等）的元素是有序排列的，而哈希表不是有序的。因此，在哈希表上只能做单个key的查找，不适宜做范围查找。跳表可以在 O(logn)时间复杂度定位区间的起点，然后在原始链表中顺序向后查询就可以。在做范围查找的时候，平衡树比skiplist操作要复杂(红黑树的效率没有跳表高)。在平衡树上，找到指定范围的小值之后，还需要以中序遍历的顺序继续寻找其它不超过大值的节点。