洛谷P1719 最大加权矩形为例题 讲解前缀和

本文介绍了洛谷P1719问题的解决方案,探讨如何利用前缀和来解决最大加权矩形的问题。通过举例说明,解释了如何计算二维数组中特定矩形区域的数字之和,并提出了一种二维数组记录前缀和的方法,以及遍历寻找最大矩阵的思路。作者强调理解公式的重要性,鼓励读者深入理解而非死记硬背。

最大加权矩形

洛谷P1719

Hi there! 今天我们继续来看另一道前缀和&差分的题
上一道题可以说是用了一个更简单但是不适用于所有前缀和的题 这次我们来仔细讲一下前缀和
先看题
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
那么这道题怎么做呢?我们先来看看这个例子:
给你一个二维数组 求红色部分数字之和
在这里插入图片描述
其实就是蓝色部分
在这里插入图片描述
减去绿色部分

在这里插入图片描述
再加上黄色部分 因为重复减了
在这里插入图片描述
所以这样的话我们只需
1.在输入的时候用一个二维数组 a[ i ] [ j ] 记录从 i 到 j 的和

for (int j=1;j<=n;j++)
        {
            cin >> a[i][j];
            a[i][j]+=(a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1]);
        }

2.遍历(一个个找)设置两个点 ( i1, j1 ) & ( i2 , j2 ) 一个个加 最终算出最大矩阵

int maxx=0x80000000;
    for (int i1=1;i1<=n;i1++)
        for (int j1=1;j1<=n;j1++)
            for (int i2=i1;i2<=n;i2++)
                for (int j2=j1;j2<=n;j2++)
                {
                    s=a[i2][j2]-a[i1-1][j2]-a[i2][j1-1]+a[i1-1][j1-1]; // 这里就是用代码实现上面讲解的例子🌰
                    if (s>maxx) maxx=s;
                }

所以合起来就是这样的

#include <iostream>
using namespace std;
int a[125][125];
int n,s=0;
int main ()
{
    cin >> n;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
        {
            cin >> a[i][j];
            a[i][j]+=(a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1]);
        }
    
    int maxx=0x80000000;
    for (int i1=1;i1<=n;i1++)
        for (int j1=1;j1<=n;j1++)
            for (int i2=i1;i2<=n;i2++)
                for (int j2=j1;j2<=n;j2++)
                {
                    s=a[i2][j2]-a[i1-1][j2]-a[i2][j1-1]+a[i1-1][j1-1];
                    if (s>maxx) maxx=s;
                }
    cout << maxx;
    return 0;
}

一定要把公式理解透彻啊 千万不要死记硬背 我试过 死得很惨🙂
今天就到这里 Au revoir~
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此题解已经AC 欢迎指出更多优化方法~

### 洛谷 P1719 最大加权矩形 Python 解题思路 对于洛谷 P1719 最大加权矩形问题,可以采用动态规划结合前缀和的方式求解。通过构建二维前缀和数组来加速区间查询效率,进而简化计算过程。 #### 动态规划状态定义 设 `dp[i][j]` 表示以第 i 行 j 列结尾的最大子矩阵权重,则有: \[ dp[i][j]=\max \left(a_{i,j}, a_{i,j}+\sum _{k=0}^{i-1}\sum _{l=j-w+1}^{j}a[k][l]\right)[^1] \] 为了提高效率,在实际编程中会先预处理出每一列的高度范围内的累积高度值,再利用这些信息更新 DP 数组中的最优解。 #### 前缀和优化 考虑到直接枚举所有可能的子矩阵时间复杂度过高,因此引入一维前缀和辅助结构降低运算量。具体来说就是维护一个临时变量记录当前正在考察的一行内连续若干列构成区间的累加值,并不断调整起始位置直到找到全局最大值为止。 ```python def max_weight_rectangle(matrix): rows, cols = len(matrix), len(matrix[0]) # 计算每行的前缀和 prefix_sum = [[0] * (cols + 1) for _ in range(rows)] for r in range(rows): for c in range(cols): prefix_sum[r][c + 1] = prefix_sum[r][c] + matrix[r][c] result = float('-inf') # 枚举上下边界 for top in range(rows): temp_row_sums = [0] * cols for bottom in range(top, rows): # 更新当前层的累计高度 for col in range(cols): temp_row_sums[col] += matrix[bottom][col] current_max_subarray = kadane_algorithm(temp_row_sums) result = max(result, current_max_subarray) return result def kadane_algorithm(nums): """Kadane's algorithm to find the maximum subarray sum""" best_sum = current_sum = nums[0] for num in nums[1:]: current_sum = max(num, current_sum + num) best_sum = max(best_sum, current_sum) return best_sum ``` 此算法的时间复杂度主要取决于两重循环遍历所有的上界下界的组合以及调用一次 Kadane 算法 O(n),总体为 \(O(N^3)\),其中 N 是输入矩阵较小维度大小。空间复杂度则由存储前缀和所需额外开销决定,即 \(O(MN)\),M 和 N 分别代表给定网格的高度与宽度。
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