P1719 最大加权矩形（洛谷）

最大加权矩形

题目描述

为了更好的备战 NOIP2013，电脑组的几个女孩子 LYQ,ZSC,ZHQ 认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。

校长先给他们一个 $n\times n$ 矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大 。矩阵的每个元素属于 $[-127,127]$ ,例如

 0 –2 –7  0 
 9  2 –6  2
-4  1 –4  1 
-1  8  0 –2

在左下角：

9  2
-4  1
-1  8

和为 $15$。

几个女孩子有点犯难了，于是就找到了电脑组精打细算的 HZH，TZY 小朋友帮忙计算，但是遗憾的是他们的答案都不一样，涉及土地的事情我们可不能含糊，你能帮忙计算出校长所给的矩形中加权和最大的矩形吗？

输入格式

第一行：$n$，接下来是 $n$ 行 $n$ 列的矩阵。

输出格式

最大矩形（子矩阵）的和。

样例 #1

样例输入 #1

4
0 -2 -7 0
 9 2 -6 2
-4 1 -4  1 
-1 8  0 -2

样例输出 #1

15

提示

$1\le n\le 120$

二维前缀和

段代码用于解决一个问题：在一个给定的n×n权值矩阵中找到一个子矩阵，使得这个子矩阵的所有元素之和最大。这种问题在计算机科学中称为最大子矩阵和问题。代码使用了动态规划的技术通过预计算前缀和来优化求解过程。下面是对代码的详细注释：

#include<bits/stdc++.h> // 包含STL库，常用于竞赛编程
using namespace std; // 使用标准命名空间

// 定义矩阵a来存储输入的矩阵，s用于存储计算的前缀和
int a[130][130],s[130][130];

int main() // 主函数
{
    int n; // 矩阵的大小
    scanf("%d",&n); // 读入矩阵的大小
    int max=INT_MIN; // 初始化最大子矩阵和为整数类型可能的最小值

    // 读入矩阵并计算前缀和
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]); // 读入矩阵元素值
            // 计算到当前位置的前缀和，即左上角到当前位置构成的子矩阵的所有元素和
            s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
        }
    }

    // 这四个嵌套的for循环用于找出所有可能的子矩阵，并计算它们的和
    for(int x1=1;x1<=n;x1++)
    {
        for(int y1=1;y1<=n;y1++)
        {
            for(int x2=x1;x2<=n;x2++)
            {
                for(int y2=y1;y2<=n;y2++)
                {
                    // 计算子矩阵(x1,y1)到(x2,y2)的元素和
                    int z=s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1];
                    if(max<z) max=z; // 如果计算得出的和大于当前已知的最大值，则更新最大值
                }
            }
        }
    }
    printf("%d",max); // 输出最大子矩阵的和
    return 0; // 程序结束
 }

代码首先读入矩阵大小n，并初始化最大子矩阵和为INT_MIN。然后读入矩阵元素，并且在读入的同时计算前缀和。这个前缀和用于优化计算任意子矩阵的元素和的过程。随后，通过四层嵌套循环枚举所有可能的子矩阵，计算它们的和，并更新最大值。最后输出最大子矩阵的和。

易错

在枚举右下角的点时，我犯了一个致命错误，我右下角的点从1开始，而不是从左上角的点开始

错误代码：

for(int x1=1;x1<=n;x1++)
    {
        for(int y1=1;y1<=n;y1++)
        {
            for(int x2=1;x2<=n;x2++)
            {
                for(int y2=1;y2<=n;y2++)
                {
                    // 计算子矩阵(x1,y1)到(x2,y2)的元素和
                    int z=s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1];
                    if(max<z) max=z; // 如果计算得出的和大于当前已知的最大值，则更新最大值
                }
            }
        }
    }