P1719 最大加权矩形（最大连续子段和+矩形二维降一维+前缀和）

题目描述

为了更好的备战NOIP2013，电脑组的几个女孩子LYQ,ZSC,ZHQ认为，我们不光需要机房，我们还需要运动，于是就决定找校长申请一块电脑组的课余运动场地，听说她们都是电脑组的高手，校长没有马上答应他们，而是先给她们出了一道数学题，并且告诉她们：你们能获得的运动场地的面积就是你们能找到的这个最大的数字。

校长先给他们一个N*N矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大 。矩阵的每个元素属于[-127,127],例如

0 –2 –7 0 在左下角： 9 2

9 2 –6 2 -4 1

-4 1 –4 1 -1 8

-1 8 0 –2 和为15

几个女孩子有点犯难了，于是就找到了电脑组精打细算的HZH，TZY小朋友帮忙计算，但是遗憾的是他们的答案都不一样，涉及土地的事情我们可不能含糊，你能帮忙计算出校长所给的矩形中加权和最大的矩形吗？

输入输出格式

输入格式：

 

第一行：n，接下来是n行n列的矩阵。

 

输出格式：

 

最大矩形（子矩阵）的和。

 

输入输出样例

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4
0 -2 -7 0
 9 2 -6 2
-4 1 -4  1 
-1 8  0 -2

输出样例#1： 复制

15

说明

n<=120

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define MAXN 200
#define INF 0x3f3f3f3f
int a[MAXN][MAXN],dp[MAXN][MAXN];
int sum[MAXN][MAXN];
//这道题感觉就是矩形形式下的最大连续和问题
//关键就是将矩阵的二维转化为一维
//将行看成一维的话，那压缩j就好了，
//枚举所有的列，压缩，如 1 12 123 23 3 都是连续的
//利用前缀和来枚举所有压缩情况
//枚举矩形就比较简单，对于正方形的话？？？？
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int i,j,k;
    int ans=-INF;
    for(i=1;i<=n;i++)
    for(j=1;j<=n;j++)
    scanf("%d",&a[i][j]);
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    for(i=1;i<=n;i++)
    sum[1][i]=a[1][i];
    for(i=2;i<=n;i++)
    for(j=1;j<=n;j++)
    {
      sum[i][j]=sum[i-1][j]+a[i][j];  //算出了所有1到n的情况。
    }
    for(k=0;k<=n-1;k++)
    for(i=k+1;i<=n;i++) //i=k+1一定要在他下面不是吗？？，别漏了
    {
         memset(dp,-INF,sizeof(dp)); //每次压缩行改变都要重置dp
         for(j=1;j<=n;j++)
        {
         dp[i][j]=max(sum[i][j]-sum[k][j],dp[i][j-1]+sum[i][j]-sum[k][j]);//dp存的是从i-k到i行压缩的这一一维的最大连续和
         ans=max(ans,dp[i][j]);     //dp存的不是最大值
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}