最大独立集与UVA在线评测平台的组合问题-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ThinkingLion/article/details/41281219

本文探讨了如何通过反向思维解决UVA在线评测平台上的组合问题，具体涉及到最大独立集的概念及其与最小覆盖的互补性质。文章通过实例展示了将问题转化为图论中的最大独立集问题，并利用二分图匹配算法求解，从而找到满足特定条件的最优解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接:http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=560&page=show_problem&problem=3235

题目大意：见白书356页。

题目要求至少满足这四个条件的某一个，正面考虑是很复杂的，我们从反面来考虑。如过某两个人的四个条件都不满足，那我们是不是可以做点什么？我们注意到，在条件中有这么一条，性别相同，所以我们把同学分成两个集合，一个男，一个女，那么对于如果四个条件都不满足的，那么我们可以在这两个同学之间连一条边，因为这两个集合性别不同，而条件里如果不满足性别的那一条时，说明这两个肯定是异性，故这一条边肯定连接的是X和Y集合。

由题目的要求我们可以知道，要选的两个人一定不能在同一条边上，所以抽象出来，我们要求的就是找最多的点，使得任意两个点都不位于同一条直线上。

二分图中，这就是求最大独立集，最大独立集：求最多的点，使得任意两个点不在同一条边上。

可证，最大独立集与最小覆盖是互补的，也就是最大独立集 = 节点总数 - 最小覆盖。

/*
 * ThinkingLion.cpp
 *
 *  Created on: 2014年11月18日
 *      Author: dell
 */
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<time.h>
#include<queue>
#include<stack>
#include<iterator>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
#include<limits.h>
//#define ONLINE_JUDGE
#define eps 1e-8
#define INF 0x7fffffff
#define FOR(i,a) for((i)=0;i<(a);(i)++)
#define MEM(a) (memset((a),0,sizeof(a)))
#define sfs(a) scanf("%s",a)
#define sf(a) scanf("%d",&a)
#define sfI(a) scanf("%I64d",&a)
#define pf(a) printf("%d\n",a)
#define pfs(a) printf("%s\n",a)
#define pfI(a) printf("%I64d\n",a)
#define sfd(a,b) scanf("%d%d",&a,&b)
#define for1(i,a,b) for(int i=(a);i<b;i++)
#define for2(i,a,b) for(int i=(a);i<=b;i++)
#define clr1(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define clr2(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define ll __int64
const double PI=acos(-1.0);
template<class T> T gcd(T a,T b){return b?gcd(b,a%b):a;}
template<class T> T lcm(T a,T b){return a/gcd(a,b)*b;}
template<class T> inline T Min(T a,T b){return a<b?a:b;}
template<class T> inline T Max(T a,T b){return a>b?a:b;}
using namespace std;
int n;
#define N 505
#define M 505*505
struct BPM{
	int vis[N];
	int n,m;
	vector<int> G[N];
	int left[N];
	int right[N];
	bool T[N];
	bool S[N];
	void Init(int n,int m){
		this->n=n;
		this->m=m;
		for(int i=0;i<N;i++)G[i].clear();
	}
	void addEdge(int u,int v){
		G[u].push_back(v);
	}
	int match(int u){
		for(int i=0;i<(int)G[u].size();i++){
			int v=G[u][i];
			if(!T[v]){
				T[v]=true;
				if(left[v]== -1|| match(left[v])){
					left[v]=u;
					return 1;
				}
			}
		}
		return 0;
	}
	int solve(){
		memset(left,-1,sizeof left);
		memset(right,-1,sizeof right);
		int ans=0;
		for(int i=0;i<n;i++){
			memset(T,0,sizeof T);
				if(match(i))
					ans++;
		}
		return ans;
	}
};
BPM solver;
struct Person{
	int high;
	char sex;
	char mus[110];
	char mat[110];
	Person(int high,char sex,char mus[110],char mat[110]){
		this->high=high;
		this->sex=sex;
		strcpy(this->mus,mus);
		strcpy(this->mat,mat);
	}
	Person(){}
}boy[510],girl[510];
bool judge(Person a,Person b){
	if(abs(a.high-b.high)>40)
		return true;
	if(strcmp(a.mus,b.mus)!=0)
		return true;
	if(strcmp(a.mat,b.mat) == 0)
		return true;
	return false;
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		sf(n);
		int male=0,female=0;
		int high;
		char sex,mus[110],mat[110];
		for(int i=0;i<n;i++){
			scanf("%d %c%s%s",&high,&sex,mus,mat);
			if(sex == 'M') boy[male++]=Person(high,sex,mus,mat);
			else if(sex == 'F') girl[female++]=Person(high,sex,mus,mat);
		}
		solver.Init(male,female);
		for(int i=0;i<male;i++)
			for(int j=0;j<female;j++){
				if(!judge(boy[i],girl[j]))
					solver.addEdge(i,j);
			}
		int res=solver.solve();
		int ans=male+female-res;
		printf("%d\n",ans);
	}
return 0;
}

uva12083