python 多元字符多项式的展开问题

最新推荐文章于 2023-03-27 18:10:24 发布
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分类专栏： python 文章标签： 多项式展开 字符串分割 判断子集
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Thea_1207/article/details/88991572
在编程过程中，遇到了一个关于多项式展开的问题。给定x=(x1, x2, x3, x4, x1*x2+x3+x4+x5)和u=(0, 1, 0, 0, 1)，需要计算x的u次方并判断特定单项式是否存在于展开的多项式中。解决方案涉及到使用sympy库，字符串分割以及利用set来判断子集。" 23100053,2895125,单链表中查找数据的位序,"['数据结构', '链表', '算法', 'C++编程']

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今天coding中遇到一个问题，背景如下：
x = (x1, x2 , x3, x4, x1 * x2 + x3 + x4 + x5)
u = (0, 1, 0, 0, 1 )
求x的u次方，并求出某单项式poly是否包含在该多项式中
ps: x的u次方即为 xi的ui次方的乘积（0 <= i <= 4 ）

解决如下：

  1. sympy包
  2. 字符串分割
  3. 用set判断子集
from sympy import *
x1 = Symbol('x1')
x2 = Symbol('x2')
x3 = Symbol('x3')
x4 = Symbol
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多元函数的泰勒(Taylor)展开式
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实际优化问题目标函数往往比较复杂，简化问题通常将目标函数在某点附近展开为Taylor多项式来逼近原函数： ⋅\cdot一元函数在点xkx_k处的泰勒展开为： f(x)=f(xk)+(x−xk)f′(xk)+12!(x−xk)2f′′(xk)+onf(x)=f(x_k)+(x-x_k)f'(x_k)+\frac{1}{2!}(x-x_k)^2f''(x_k)+o^n ⋅\cdot二元函数在点(x
多元函数的泰勒展开式
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多元函数的泰勒展开式       本博客整理自：http://blog.youkuaiyun.com/red_stone1/article/details/70260070。并在一些地方做出修改。       实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化，通常将目标函数在某点附近展开为泰勒(Taylor)多项式来逼近原函数。              把泰勒展开式写成矩阵的形式：  
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i coef = a[i] if coef == 0: continue # 处理符号 if result: # 结果非空，表示不是第一项 if coef > 0: sign = "+" else: sign = "-" else: if coef > 0: sign = "" else: sign = "-" # 取系数的绝对值 abs_coef = abs(coef) # 处理系数部分：如果系数的绝对值是1且不是常数项（指数>0），那么不输出1，否则输出绝对值 if abs_coef == 1 and exp > 0: coeff_str = "" else: coeff_str = str(abs_coef) # 处理指数部分 if exp == 0: term = coeff_str # 常数项，只输出系数 elif exp == 1: term = coeff_str + "x" else: term = coeff_str + "x^" + str(exp) # 组合符号和项 result += sign + term # 如果结果为空，说明所有系数都是0 if not result: result = "0" print(result) ``` 测试样例：输入：5 [100, -1, 50, 0, 0, 1] 输出：100x^5-x^4+50x^3+1 但是，根据题目描述，常数项1应该输出，但这里最后是+1，符合要求。 但是，题目中给出的例子输出是：100x^5 - x^4 + 50x^3 + 1，注意我们输出没有空格，但题目要求没有空格，所以正确。 另一个样例：输入：3 [0, 0, 0, 1] 输出：1（因为n=3，但前三个系数为0，最后常数项为1，所以输出1） 但是，题目保证最高次项不为0，所以第一个系数非0？但我们的代码可以处理第一个系数为0的情况（跳过，然后第一项变成下一个非零项，但符号处理上，第一个非零项如果是正数，不输出正号）。所以代码是鲁棒的。 但是，题目描述中，输入的第一个系数是最高次项系数，且非0（因为n是最高次数），所以第一个系数不会为0。但我们的代码可以处理中间有0的情况。 另一个样例：输入：3 [1, 0, 0, -1] 输出：x^3-1 步骤： i0: exp=3, coef=1 -> 第一项，正数，符号''，系数1且指数3>0，所以系数部分省略，指数3>1 -> 输出"x^3" i1: exp=2, coef=0 -> 跳过 i2: exp=1, coef=0 -> 跳过 i3: exp=0, coef=-1 -> 负数，非第一项，符号'-'，绝对值1，但指数0，所以系数部分输出"1"，所以整个项是"-1" 结果："x^3-1" 正确。 再一个样例：输入：3 [-1, 0, 0, 1] 输出：-x^3+1 i0: exp=3, coef=-1 -> 第一项，负数，符号'-'，绝对值1且指数>0，省略1，所以项为"x^3"（注意：符号已经处理，所以是"-x^3"） i3: exp=0, coef=1 -> 正数，非第一项，符号'+'，输出"+1" 结果："-x^3+1" 但是，题目要求：第一项如果是负数，前面有负号，正确。 特殊情况：输入：0 [0] -> 输出0（因为所有系数为0，所以输出0） 输入：0 [5] -> 输出5（常数项） 输入：1 [1,1] -> 输出"x+1" 输入：1 [-1, -1] -> 输出"-x-1" 测试：n=1, a=[-1,-1] i0: exp=1, coef=-1 -> 第一项，负数，符号'-'，绝对值1且指数>0，所以系数部分省略，项为"x" -> 所以第一项是"-x" i1: exp=0, coef=-1 -> 负数，非第一项，符号'-'，绝对值1，指数0，所以输出"1" -> 整个项是"-1" 所以结果："-x-1" 正确。 因此，代码可以满足要求。 注意：题目要求输出格式中，系数为整数，所以没有小数。 现在，我们按照题目要求输出代码和解析。 解析： - 本题要求按照规范格式输出多项式，需要特别注意系数的符号、系数的绝对值是否为1、指数的大小等。 - 我们通过遍历每一项，根据当前项的位置（是否第一项）、系数的正负、系数的绝对值是否为1以及指数的大小来构造每一项的字符串。 - 最后，如果整个多项式所有系数都是0，则输出0。 代码如上。 相关问题： 1. 多项式输出的规范还有哪些需要注意的细节？ 2. 如果多项式系数是浮点数，应该如何调整？ 3. 如何用类似的方法处理多元多项式？</think>### Python 洛谷 P1067 多项式输出 解析与解题方法 #### 题目描述 给定一元 $n$ 次多项式的系数（从最高次项到常数项），要求按数学规范输出多项式[^1]。规则如下： 1. **系数处理**： - 系数为 $0$ 的项不输出 - 系数为 $1$ 且指数 $>0$ 时省略 $1$（如 $x$ 而非 $1x$） - 系数为 $-1$ 且指数 $>0$ 时保留负号（如 $-x$） - 常数项（指数 $0$）必须完整输出系数 2. **符号处理**： - 首项系数为正时不输出 $+$ 号 - 非首项系数为正时需添加 $+$ 号 - 系数为负时始终输出 $-$ 号 3. **指数处理**： - 指数为 $1$ 时不输出指数（如 $x$ 而非 $x^1$） - 指数 $>1$ 时需输出 $x^ \text{指数}$ #### 解题思路 1. **输入处理**： - 第一行输入整数 $n$（最高次数） - 第二行输入 $n+1$ 个整数（从 $x^n$ 到 $x^0$ 的系数） 2. **遍历系数**： - 对每个系数 $a_i$（对应指数 $exp = n - i$）： - 跳过 $a_i = 0$ 的项 - 根据位置和符号确定输出符号（首项正数无 $+$，负数有 $-$） - 根据系数和指数决定是否输出系数值 - 根据指数值决定是否输出 $x$ 和指数符号 3. **特例处理**： - 所有系数为 $0$ 时输出 $0$ #### Python 代码实现 ```python n = int(input()) coeffs = list(map(int, input().split())) result = "" for i in range(n + 1): exp = n - i coef = coeffs[i] if coef == 0: continue # 确定符号 if result: # 非首项 sign = "+" if coef > 0 else "-" else: # 首项 sign = "-" if coef < 0 else "" # 确定系数部分 abs_coef = abs(coef) if abs_coef == 1 and exp > 0: # 省略系数1 coef_str = "" else: coef_str = str(abs_coef) # 确定变量部分 if exp == 0: var_str = coef_str elif exp == 1: var_str = f"{coef_str}x" else: var_str = f"{coef_str}x^{exp}" result += sign + var_str print(result if result else "0") ``` #### 示例分析 **输入**： ``` 5 100 -1 50 0 0 1 ``` **输出**： ``` 100x^5-x^4+50x^3+1 ``` - $x^5$ 项：系数 $100$ → `100x^5` - $x^4$ 项：系数 $-1$ → `-x^4` - $x^3$ 项：系数 $50$ → `+50x^3` - $x^0$ 项：系数 $1$ → `+1` #### 易错点 1. **符号处理**： - 首项系数为负时需输出 $-$（如 `-x^2`） - 非首项正系数需显式添加 $+$（如 `+3x`） 2. **系数省略**： - 仅当 $|系数|=1$ 且 $指数>0$ 时省略 $1$ - 常数项必须完整输出系数（如 $+5$ 而非 $+$） 3. **边界情况**： - 输入 $n=0$ 时直接输出常数项 - 所有系数为 $0$ 时输出 `0` #### 优化建议 1. **代码简化**：合并符号与系数的逻辑判断 2. **性能优化**：使用列表推导式 + `join()` 代替字符串拼接 3. **扩展性**：支持浮点数系数（需处理精度问题）
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