LA 3720 Highways (计数问题)

LA 3720 Highways

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题目大意:

有一个n*m的点阵,问一共有多少条非水平非竖直的直线至少穿过其中两个点?
($1\leq n,m \leq 300$)

题目分析:

可以发现,非水平非竖直的直线有两种:’/’和’\’,可以选择只统计其中一种来计算,下面选择’\’.
若将起始点坐标设为(0,0).
什么时候会出现重复直线?例如(0,0)-(4,6)就与(0,0)-(2,3)重合.因为4/2=2,6/2=3.
那么只有在x,y坐标互质,即gcd(x,y)=1时,不与前面的直线重合.

在网上看到了一篇题解,感觉时间复杂度比较优秀.

设cnt[i][j]表示从原点(0,0)开始形成一个i*j的点阵,与(0,0)形成的所有不重合直线.则有

cnt[i][j]=cnt[i][j-1]+cnt[i-1][j]-cnt[i-1][j-1]+(gcd(i,j)==1)

(实际上就是个二维前缀和)

然后可以用二维前缀和来统计答案,
设sum[i][j]表示从(0,0)到(i,j)形成的点阵所能构成的所有直线,则有

sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]-sum[i-1][j-1]+cnt[i][j]-cnt[i/2][j/2]

右边的式子中可以理解为现在加入一个新的点(i,j)来形成更多直线.
显然在统计答案的时候,虽然cnt值不包含重合直线,但是引入新点的时候就有可能出现重合情况.

若将(0,0)~(i,j)的点成缩小至(0,0)~(i/2,j/2).
可以发现只有在(i/2,j/2)点阵内的点形成的直线才可能过(i,j)点阵上的点(因为直线过的点至少x,y要扩大一倍).
实际上就是把(i/2,j/2)中存在的直线减去,因为这些直线必定能出现在(i,j)中.

总时间复杂度为$O(nm)$

代码:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxn=300;

int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

int cnt[maxn+1][maxn+1],sum[maxn+1][maxn+1];

void init(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            cnt[i][j]=cnt[i-1][j]+cnt[i][j-1]-cnt[i-1][j-1]+(gcd(i,j)==1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+cnt[i][j]-cnt[i/2][j/2];
}

int main()
{
    init(maxn);
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2&&n)
        printf("%d\n",sum[n-1][m-1]*2);
    return 0;
}