LA 3716 DNA Regions (二分/排序)

最新推荐文章于 2017-06-20 19:52:00 发布

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基础算法-排序

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基础算法-二分

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本文介绍了一种在两条DNA链中寻找最长相似区段的算法，该算法通过维护一个单调递增栈并采用二分搜索或排序的方法来解决这一问题。适用于长度在150,000以内的DNA序列，能有效处理不超过99%的变异比例。

LA 3716 DNA Regions

题目大意:

给两条长度为n的DNA链A和B,找出一段最长的区间使得区间内的突变位置不超过 $p\%$ .即找出尽可能长的区间,使得区间内有不超过 $p\%$ 的 $x$ 满足 $Ax \neq Bx$ .
( $1\leq n \leq 150000,1\leq p \leq 99$ ).

题目分析:

设sum[i]表示到i位置为止对应字母不同的个数.
那么对应一个合法区间 $(l,r]$ ,须有

$s u m [ r ] - s u m [ l ] r - l \leq p 100$ $\frac{sum[r]-sum[l]}{r-l}\leq \frac {p} {100}$
$100 (s u m [r] - s u m [l]) \leq p (r - l)$ $100(sum[r]-sum[l]) \leq p(r-l)$
$s u m [r] * 100 - r * p \leq s u m [l] - l * p$ $sum[r]*100-r*p \leq sum[l]-l*p$

设 $K[i]=sum[i]*100-i*p$ ,则若 $K[i] \leq K[j]$ ,存在 $(j,i]$ 为合法区间.

解法一(二分):

维护一个K单调递增栈,在栈里进行二分查找.

解法一代码:

//二分
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxn=150000+10;

char A[maxn],B[maxn];
int sum[maxn],st[maxn],n,p;

int binary_search(int top,int pos)//在单调栈st中,在[0,top]中找到最靠前大于等于pos的sum值对应编号 
{
    int L=0,R=top,ans=-1;//-1表示未找到 
    while(L<=R) {
        int mid=(L+R)>>1;
        if(sum[pos]<=sum[st[mid]]) ans=mid,R=mid-1;
        else L=mid+1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&p)==2&&n) {
        scanf("%s%s",A+1,B+1);
        int cnt=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            if(A[i]!=B[i]) ++cnt;
            sum[i]=cnt*100-i*p;
        }
        int top=0,ans=0;st[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            int pos=binary_search(top,i);
            if(pos>=0) ans=max(ans,i-st[pos]);
            if(sum[i]>sum[st[top]]) st[++top]=i;
            //若sum[i]<=sum[st[top]],对于后面的点来说,st[top]要比i更能形成合法解,且解比i更优 
        }
        if(ans) printf("%d\n",ans);
        else printf("No solution.\n");
    }
    return 0;
}

解法二(排序):

现将原序列以K值从大到小排序,那么后面的定比前面小,那么若后面的编号小于前面的,就可以形成合法解.

解法二代码:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxn=150000+10;

struct Node {
    int id,sum;
    bool operator < (const Node& rhs) const {
        return sum>rhs.sum||(sum==rhs.sum&&id<rhs.id);//注意sum相等时,id小的在前面 
    }
}N[maxn];

int n,p;
char A[maxn],B[maxn];

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&p)==2&&n) {
        scanf("%s%s",A+1,B+1);
        int cnt=0;
        N[0].sum=N[0].id=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            if(A[i]!=B[i]) ++cnt;
            N[i].sum=cnt*100-i*p;
            N[i].id=i;
        }
        sort(N,N+n+1);
        int id_min=N[0].id,ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(N[i].id<id_min) id_min=N[i].id;//若当前编号比id_min小,更新id_min 
            else ans=max(ans,N[i].id-id_min);//若可以形成合法解,尝试更新答案  
        if(ans) printf("%d\n",ans);
        else printf("No solution.\n");
    }
    return 0;
}