Sumdiv （POJ - 1845，求 A^B 的约数和）_求 ^ 的所有约数之和 mod 9901-优快云博客

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本文详细解析了POJ-1845题目的解题思路，利用唯一分解定理将问题转化为求特定形式的数的约数和，并通过分治法和递归方式求解，最终给出代码实现。

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一.题目链接：

POJ-1845

二.题目大意：

求 $A^{B}$ 的约数和 mod 9901 $(1\leq A,B\leq5e7)$

题目简洁明了~~，就是不会做。~~

三.分析：

由唯一分解定理得：A 一定可以表示为 $p_{1}^{c_{1}} \times p_{2}^{c_{2}} \times .....p_{n}^{c_{n}}$ 的形式.

那么 $A^{B}$ 可表示为 $p_{1}^{B\times c_{1}} \times p_{2}^{B\times c_{2}} \times .....p_{n}^{B\times c_{n}}$

因此， $A^{B}$ 的约数为集合 $\left \{ p_{1}^{k_{1}} \times p_{2}^{k_{2}} \times .....p_{n}^{k_{n}}\right \}$ ，其中 $0\leq k_{i} \leq B \times c^{i} \ (1 \leq i \leq n)$

根据乘法分配律， $A^{B}$ 的所有约数之和就是： $\prod_{i = 1}^{n}\sum_{j = 0}^{B\times c^{i}} p_{i} ^{\ j}$

上式每一括号内都是等比数列，现在就有两种解法：

① 求逆元

② 分治 + 递归

这里只介绍 ②

现欲使用分治法求 $solve(p, c) = 1+p+p^{2}+....+p^{c} = \ ?$

若 c 为奇数：

$solve(p, c)= (1+p+....+p^{\frac{c-1}{2}})+(p^{\frac{c+1}{2}}+....+p^{c}) \\ = (1+p+....+p^{\frac{c-1}{2}})+ p^{{\frac{c + 1}{2}}} (1+....+p^{{\frac{c - 1}{2}}}) \\ = (1 + p + .... + p^{\frac{c -1}{2}}) (1 + p^{{\frac{c + 1}{2}}}) \\ = solve(p,{\frac{c -1}{2}})(1 + p^{{\frac{c + 1}{2}}})$

若 c 为偶数：

$solve(p, c) = solve(p, c - 1) + p^{c}$

四.代码实现：

#include <set>
#include <map>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define eps 1e-6
#define pi acos(-1.0)
#define ll long long int
using namespace std;

const int M = (int)2e3;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll mod = 9901;

ll quick(ll a, ll b)
{
    ll sum = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
            sum = sum * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return sum % mod;
}

ll solve(ll p, ll c)
{
    if(!c)
        return 1;
    if(c & 1)
        return solve(p, (c - 1) / 2) * (1 + quick(p, (c + 1) / 2)) % mod;
    else
        return (solve(p, c - 1) + quick(p, c)) % mod;
}

int main()
{
    ll a, b;
    while(~scanf("%lld %lld", &a, &b))
    {
        ll ans = 1;
        for(ll i = 2; i <= sqrt(a); ++i)
        {
            if(a % i == 0)
            {
                ll cnt = 0;
                while(a % i == 0)
                {
                    cnt++;
                    a /= i;
                }
                ans = ans * solve(i, cnt * b) % mod;
            }
        }
        if(a != 1)
            ans = ans * solve(a, b) % mod;
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}