Sightseeing trip （POJ - 1734，Floyd 求无向图最小权值环）

最新推荐文章于 2020-08-01 11:14:42 发布

原创最新推荐文章于 2020-08-01 11:14:42 发布 · 304 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

Floyd 专栏收录该内容

3 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种使用Floyd算法求解无向图中最小权值环的方法，详细阐述了如何通过更新节点间最短路径来找到最小环，并提供了具体的代码实现。

一.题目链接：

POJ-1734

二.题目大意：

求无向图最小权值环，打印路径.

三.分析：

模板题.

考虑 Floyd 算法的过程.

当外层循环 k 刚开始时，dis[i][j] 为 “经过编号不超过 k - 1 的节点” 从 i 到 j 的最短距离.

设最小权值环经过 k，并枚举 k 的左右两个点 i、j.

则该环的权值为 dis[i][j] + Edge[j][k] + Edge[k][i].

由此便可更新环的最小权值，在更新时求环的路径.

设 pos[i][j] 为从 i 到 j 的最短路径中 i 要走的下一个点的编号，维护 pos 即可.

详见代码.

ps：对于有向图的最小环问题，可枚举起点 s = 1 ~ n，执行堆优化Dijkstra 求出单源最短路经。s 一定是第一个被取出的节点，我们扫描 s 的所有出边，当拓展、更新完成后，令 dis[s] = inf，然后继续求解。当 s 第二次被从堆中取出时，dis[s] 就是经过 s 的最小环长度.

四.代码实现：

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;

const int M = (int)1e2;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int dis[M + 5][M + 5];
int Edge[M + 5][M + 5];

int ans = inf;
vector <int> path;
int pos[M + 5][M + 5];

void Floyd()
{
    memcpy(dis, Edge, sizeof(Edge));
    for(int k = 1; k <= n; ++k)
    {
        for(int i = 1; i < k; ++i)
        {
            for(int j = i + 1; j < k; ++j)
            {
                if(0ll + dis[i][j] + Edge[j][k] + Edge[k][i] < ans)
                {
                    ans = dis[i][j] + Edge[j][k] + Edge[k][i];
                    path.clear();
                    for(int l = i; l != j; l = pos[l][j])
                        path.push_back(l);
                    path.push_back(j), path.push_back(k);
                }
            }
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            for(int j = 1; j <= n; ++j)
            {
                if(dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j])
                {
                    dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
                    pos[i][j] = pos[i][k];
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for(int j = 1; j <= n; ++j)
            Edge[i][j] = (i == j ? 0 : inf);
    }
    for(int i = 0, u, v, w; i < m; ++i)
    {
        scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
        Edge[u][v] = Edge[v][u] = min(Edge[u][v], w);
        pos[u][v] = v, pos[v][u] = u;
    }
    Floyd();
    if(ans == inf)
        printf("No solution.\n");
    else
    {
        int len = path.size();
        for(int i = 0; i < len; ++i)
            printf("%d%c", path[i], i == len - 1 ? '\n' : ' ');
    }
    return 0;
}