打印斐波那契数列的递归法和迭代法的速度比较

  最近在学习的过程中发现算法十分重要，同样的结果使用不同的算法，速度和占用内存会大有不同，一个算法的好坏往往从时间复杂度上能得到体现。光说感触并不会深刻，下面以斐波那契数列为例展示不同时间复杂度算法的差别

斐波那契数列

  int fib[ ]={0, 1, 1 ,2, 3, 5, 8, 13, 21…}；
  此数组的前两项分别是0和1，此后的每一项都是其前两项的和，我们称之为斐波那契数列。在程序中打印斐波那契数列有很多方法，递归法，迭代法，线性递归法等。下面主要比较递归法和迭代法。

方法一：递归法

  如果我们想在程序中打印出第n项的斐波那契数，或前n项的斐波那契数列，根据该数列的规律，我们很容易想到下面这个式子：
             fib(n) = fib(n-1)+fib(n-2); (n>2)
  其中fib(0) = 0; fib(1) = 1;这是一种递归的方法，当我们求fib(n)时，我们需要先求出fib(n-1)和fib(n-2);以此类推，最终推到fib(0)和fib(1)，这种方法简单直观，容易想得到也确实能正确的算出第n项斐波那契数的值，在visua studio 2017上用c语言实现这个方法：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <time.h>
int fib(int n)
{
	//判断n是否大于2是则递归计算，否则返回n的值
	return (2 > n) ? n : fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
int main()
{
	int i = 1;
	long t = 1000000000L;
	clock_t start, finish;
	double useTime;
	start = clock();
	while (i < 41)
	{
		printf("第%d项：%d\n",i,fib(i));
		i++;
	}
	finish = clock();
	useTime = (finish - start) / CLOCKS_PER_SEC;
	printf("这个过程用时%f秒\n",useTime);
	system("pause");
	return 0;
}

在上面的代码中，只打印了前四十项斐波那契数，

将程序改为打印前41项时

  我的电脑在计算第36项时就出现了明显的延迟（在不同性能的电脑上有所不同），仅仅只是多计算了一项花的时间就多了15秒，以后的计算时长更是几何式增长
  为什么这样一个方法，会如此低效，是因为这个方法的时间复杂度是O(2^n),这样的算法是不合格的

方法二：迭代法

  刚才的方法计算很慢的原因是，有很多重复的递归基，大量的重复计算降低了效率，实际上我们只需要知道一次前几项各自的值就可以了。
  刚才的方法是自顶向下重复递归，这次的方法就是自下至顶依次迭代，下面说明斐波那契数列迭代法实现原理：

  从图上不难看出这是一个从下往上，形似走楼梯的斐波那契数列，且每一项都只出现一次，由于其每一项都是由前两项和得到的，所以现将左图转换为右图的形式，细心观察可以发现，如下规律：

Floor	L	R	sum = L+R
1	1	0	1
2	1	1	2
3	2	1	3
4	3	2	5
5	5	3	8
6	8	5	13

  从第二阶梯开始，当前阶梯L的值是上一阶梯的sum的值，当前阶梯R的值，是上一阶梯L的值，当前sum的值是当前R和L的和。
  这样的规律在程序中描述为
  R = L;
  L = sum;
  sum = L + R;
  同样的，在visua studio 2017上用c语言实现这个算法：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <time.h>
__int64 fib(int n)
{
	//设置三个变量，L：左边方块的值，R：右边方块的值
	//sum 当前台阶方块值之和
	__int64 R = 0;
	__int64 L = 1;
	__int64 sum = 0;
	for (int i = 0; i < n - 1; i++)
	{
		R = L;	
		L = sum;
		sum = L + R;
	}
	return sum;
}
int main()
{
	int i = 1;
	long t = 1000000000L;
	clock_t start, finish;
	double useTime;
	start = clock();
	while (i < 60)
	{
		printf("第%d项：%I64d\n", i , fib(i));
		i++;
	}
	finish = clock();
	useTime = (finish - start) / CLOCKS_PER_SEC;
	printf("这个过程用时%f秒\n", useTime);
	system("pause");
	return 0;
}

  让我们运行一下这个程序，看看计算同样项数的斐波那契数列速度有多快

  我的电脑瞬间就计算出了前40项的值，至于时间为什么是0.000000秒,可以查询C/C++clock的定义，链接里面有代码示例以供参考。
  试试计算更大的数

  依然是瞬间计算完成，即便是如此庞大的数字计算速度依旧很快

  很容易看出,该算法的迭代版本只要O(n)的时间,
递归法本身是一种很好的解题方法, 但是为了作对比, 上面打印斐波那契数的递归版本做了很多重复计算, 实际上也有优化版本,能实现线性的时间复杂度