NOIP2017提高组 小凯的疑惑 结论证明

这题的结论是$a\ast b-a-b$，但是我之前一直不理解为什么，于是现在来证明（玩）一下。
条件：$gcd(a,b)=1$
先用比较通俗的语言讲解一下我的思路。
不妨假设$a<b$
我们固定着先不用a，然后只用b。
那就可以跳到$b,2b,3b\cdot \cdot \cdot$这些位置上。（也就是可以支付这些值的意思）
假设当前跳了$t$步，我们记$tb$与在$tb$左边且最近的$a$的倍数的距离为$di{s}_t$，不难想象，每跳一步，$dis$的值就会发生一定的改变。如果所有的$dis$能够覆盖$0,,1,2,\cdot \cdot \cdot a-1$，那么我们就可以利用这些dis对应的起点，加上若干个$a$，从而实现从某个点开始，后面所有的点都可以被跳到。
那我们就要看一下$dis$到底可不可以覆盖所有的这$a$个值呢？（其中0其实可以不必被覆盖到），答案是可以的。譬如说$a=5,b=7$，那么

1. $di{s}_1$=2
2. $di{s}_2$=4
3. $di{s}_3$=1
4. $di{s}_4$=3
5. $di{s}_5$=0

发现当跳4次的时候$dis$就已经覆盖了所有的4个值（0可以不管）。
事实上，只要$a,b$互质，那么$b,2b,3b\cdot \cdot \cdot ,(a-1)b,ab$，这$a$个数对应的$dis$就互不相同，其实这个$dis$也就是对$a$取余后的数。也就是说$a$个余数各不相同，构成了$a$的一个完全剩余系。不过可以去掉0，所以跳$a-1$次就够了。这个结用反证法很容易可以证明。
接下来由于我表达能力不足可能说不太清楚。
最后一个被跳到的就是$(a-1)b$，那从它开始后面的肯定全部都可以被跳到了。譬如$(a-1)b+1$可以由之前某个满足$di{s}_{?}=di{s}_{a-1}+1$的步数加上若干个$a$获得。
不过$(a-1)b$前面实际上也还有一串连续的数可以被跳到，譬如$(a-1)b-1$可以由之前某个满足$di{s}_{?}=di{s}_{a-1}-1$的步数加上若干个$a$获得。所以最后一个不能被跳到的数是$a\ast b-a-b$

之后再用形式化的数论语言把证明过程写一遍。
aswl，写Markdown和LaTeX好累啊。