2025年全国大学生数学建模竞赛（D题） 建模解析|矿井网络结构数学建模|小鹿学长带队指引全代码文章与思路

我是鹿鹿学长，就读于上海交通大学，截至目前已经帮200+人完成了建模与思路的构建的处理了～
本篇文章是鹿鹿学长经过深度思考，独辟蹊径，实现综合建模。独创复杂系统视角，帮助你解决国赛的难关呀。
完整内容可以在文章末尾领取！
首先让我们看看解题的流程！

这是一个网络流算法问题，核心在于模拟和预测矿井巷道系统中突发水流的扩散路径与速度。题干中所描述的场景是一个典型的复杂网络结构下的流体传输问题，其中水流从突水点出发，沿着巷道网络进行传播，受到巷道几何形状、分支结构以及水流动力学特性的影响。

为什么这样判断？可以从以下几个特征点来说明：

（1）题干明确指出“巷道的断面是宽4 m，高3 m的矩形”，并规定水流初始水位为0.1 m，且突水点的突水量恒定为30 m³/min。这些参数构成了水流在巷道中流动的基本物理模型，包括流量、横截面积、水位高度等要素。这种设定直接指向了流体力学中关于液体在管道或通道中流动的建模思路，而在此基础上构建的是一个离散化的网络结构模型。

（2）题目强调“水流漫延到巷道的分叉节点处时，水流向水平巷道和下行巷道平均分流”，这表明水流在网络中的传播具有一定的规则性，即在节点处分流的行为遵循一定的逻辑，类似于图论中的节点流量分配机制。因此，该问题的本质是基于图结构的流量分配问题，属于典型的网络流问题范畴。

（3）问题要求“建立突水水流在巷道的流动漫延模型”，这表明不仅需要模拟水流的路径，还需要考虑时间维度下的动态演化过程。水流在不同巷道段的流动速度、累积水位变化、以及是否达到临界状态（如淹没某个区域）都需要被纳入模型考量。这样的过程非常适合使用图论中的网络流模型来进行建模，尤其是最大流、最小费用流等经典算法的应用场景。

（4）题干中提到“矿井巷道系统根据矿藏分布和矿脉走向布局，通常形成复杂的立体交叉三维网络结构”，而图2给出了一个示意性的巷道网络图，其中包含多个节点和连接线，这些节点代表巷道断面底边中点，线段代表巷道段。这种结构完全符合图论中的有向图或无向图模型，可用于描述水流在巷道中的流向和路径选择。

（5）题干还特别指出“以开始突水时间为零时刻”，并给出各突水点的突水速率，说明这是一个随时间演进的过程，而非静态问题。因此，模型不仅要反映空间上的拓扑结构，还要体现时间上的动态变化，即水流如何随着时间推进逐步扩散至整个巷道系统。

（6）问题类型标注为“网络流算法（最大流/最小费用流）”，这是对该类问题的直接指引。在网络流理论中，最大流问题用于求解从源点到汇点的最大流量，而最小费用流则在满足流量约束的同时最小化运输成本。虽然本题并未直接涉及费用概念，但水流在巷道中的扩散行为本质上也是一种“流”的过程，可以转化为网络流问题进行建模和求解。

综上所述，该问题的核心在于利用图论与网络流理论，结合具体的物理参数，构建一个能够描述突水水流在复杂矿井巷道系统中传播过程的数学模型。其建模基础是将巷道网络抽象为图结构，并在该结构上引入水流流量、水位高度等物理量，从而实现对水流扩散路径和时间响应的模拟与预测。这类问题广泛应用于城市排水系统、交通流分析、电力调度等领域，体现出较强的工程实践价值和数学建模能力要求。

问题1：突水水流漫延模型

模型建立思路

本题需要建立一个基于图论的网络流模型来模拟突水水流在矿井巷道中的蔓延过程。我们将巷道网络建模为有向图，其中：

节点：表示巷道断面底边中点

边：表示巷道段，权重为该巷道段的长度

流量：表示单位时间内通过该巷道段的水量

数学模型构建

1. 网络表示

设矿井巷道网络为有向图$G=(V,E)$，其中：

$V$：节点集合，每个节点代表巷道断面底边中点

$E$：边集合，每条边代表一段巷道，权重为巷道长度

2. 流量约束

对于每条边$(u,v)\in E$，定义：

$c(u,v)$：该巷道的最大通过能力（单位时间内的最大水量）

$f(u,v)$：实际通过的水量

流量约束条件：
$$0\le f(u,v)\le c(u,v)$$

3. 节点守恒

对于每个内部节点v∈V∖{s,t}v \in V \setminus \{s,t\}v∈V∖{s,t}（其中$s$为突水点，$t$为出口点）：
$$\sum _{u:(u,v)\in E}f(u,v)=\sum _{w:(v,w)\in E}f(v,w)$$

4. 分流规则

当水流到达分叉节点时：

如果节点有水平巷道和下行巷道，则平均分流

水流初始水位保持为 0.1m

5. 时间步长模拟

使用时间离散化方法：
$$t_n=n\cdot \Delta t$$
其中$\Delta t$为时间步长

6. 水位计算

巷道内水位$h(t)$可通过以下方式计算：
$$h(t)=\frac{Q\cdot t}{A}$$
其中：

$Q$：突水速率（30 m³/min）

$A$：巷道横截面积（4m × 3m = 12 m²）

因此：
$$h(t)=\frac{30t}{12}=2.5t\text{ (m)}$$

但注意，实际水位不会超过初始水位0.1m，所以：
$$h(t)=\min (2.5t,0.1)$$

7. 水流传播路径

使用广度优先搜索(BFS)或深度优先搜索(DFS)确定水流传播路径。对于每个节点，按照以下规则进行扩展：

1. 如果当前节点为突水点，则开始向相邻节点传播
2. 对于每个相邻节点，根据是否为分叉点决定如何分配水流
3. 分叉点的水流平均分配给水平巷道和下行巷道

具体实现步骤

步骤1：初始化网络

将巷道网络转换为图结构，设置所有边的容量为无穷大（因为题目未给出具体限制），标记突水点为源点。

步骤2：构建时间步长模型

设定时间步长$\Delta t=1$min，从时间0开始模拟。

步骤3：迭代计算

在每个时间步长内：

1. 计算从突水点开始的水流传播路径
2. 根据分流规则分配水流
3. 更新各节点的水位信息
4. 判断是否达到边界条件（如水位达到最大值）

步骤4：递推公式

设$T_n(v)$表示第$n$个时间步时节点$v$处的水位，则递推关系为：
$$T_{n+1}(v)=T_n(v)+\frac{Q}{A}\cdot \Delta t\cdot \text{流入量比例}$$

如果$T_{n+1}(v)>0.1$，则令$T_{n+1}(v)=0.1$

最终模型表达式

综合上述分析，水流在巷道中蔓延的数学模型可以表示为：

$$\{\begin{array}{ll}{h}_i(t)=\min \left(\frac{30t}{12},0.1\right)& \text{对所有巷道段}\\ f_{ij}(t)={\alpha }_{ij}(t)\cdot {\sum }_k{f}_{ik}(t)& \text{流量分配规则}\\ {\sum }_{j:(i,j)\in E}{f}_{ij}(t){\sum }_{j:(j,i)\in E}{f}_{ji}(t)=0& \text{节点守恒}\end{array}$$

其中：

$h_i(t)$：第$i$段巷道在时间$t$的水位

$f_{ij}(t)$：从节点$i$到节点$j$在时间$t$的水流

${\alpha }_{ij}(t)$：从节点$i$流向节点$j$的流量比例

这个模型结合了网络流理论和水力学基本原理，能够有效描述突水水流在复杂巷道网络中的传播过程。

import numpy as np
import networkx as nx
from collections import deque

# 定义巷道参数
W = 4   # 巷道宽度 (m)
H = 3   # 巷道高度 (m)
A = W * H  # 巷道横截面积 (m²)
Q = 30   # 突水速率 (m³/min)
initial_water_level = 0.1  # 初始水位 (m)

# 模拟时间步长
delta_t = 1  # 时间步长 (min)

def calculate_water_level(t):
    """计算水位"""
    return min(Q * t / A, initial_water_level)

def build_graph_from_data(nodes, edges):
    """从节点和边数据构建图"""
    G = nx.DiGraph()
    for node in nodes:
        G.add_node(node)
    for edge in edges:
        u, v = edge
        length = np.sqrt((u[0] - v[0])**2 + (u[1] - v[1])**2 + (u[2] - v[2])**2)
        G.add_edge(u, v, weight=length)
    return G

def simulate_water_flow(G, source, time_steps=100):
    """模拟水流蔓延过程"""
    water_levels = {node: 0.0 for node in G.nodes()}
    flow_in = {node: 0.0 for node in G.nodes()}
    
    # 初始化突水点
    water_levels[source] = calculate_water_level(0)
    flow_in[source] = Q
    
    # BFS遍历模拟水流传播
    queue = deque([source])
    visited = set([source])
    
    for t in range(time_steps):
        new_queue = deque()
        
        while queue:
            current_node = queue.popleft()
            
            # 获取当前节点的所有邻居
            neighbors = list(G.neighbors(current_node))
            
            if not neighbors:
                continue
                
            # 计算水流分配比例
            num_neighbors = len(neighbors)
            flow_per_neighbor = flow_in[current_node] / num_neighbors
            
            for neighbor in neighbors:
                if neighbor not in visited:
                    visited.add(neighbor)
                    new_queue.append(neighbor)
                
                # 更新流向
                flow_in[neighbor] += flow_per_neighbor
                
                # 更新水位
                water_levels[neighbor] = max(water_levels[neighbor], 
                                           calculate_water_level(t + delta_t))
        
        queue = new_queue
        
        # 打印每一步的结果（可选）
        print(f"Time step {t}: Water levels = {water_levels}")
    
    return water_levels

# 示例使用（需要实际输入数据）
nodes_example = [(0, 0, 0), (1, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 1, 0)]
edges_example = [((0, 0, 0), (1, 0, 0)), ((1, 0, 0), (2, 0, 0)), ((0, 0, 0), (0, 1, 0))]

G = build_graph_from_data(nodes_example, edges_example)
result = simulate_water_flow(G, (0, 0, 0))
print("Final water levels:", result)

这是一个最短路算法问题，核心目标是基于问题1中构建的突水水流漫延模型，为矿井中的工人设计最优逃生路径。该问题本质上是在一个具有时间延迟和空间限制的动态网络中寻找从各个位置到最近出口的最短路径，其数学建模和求解过程体现了图论与动态规划的综合应用。

为什么这样判断？可以从以下几个特征点来说明：

（1）题干明确提出“为各矿工设计最佳逃生路径”，这直接对应图论中的最短路径问题。在矿井巷道网络中，每个节点代表一个巷道断面的中心点，每条边表示巷道连接关系，而逃生路径的选取需要考虑水流蔓延的时间影响，从而确定哪个路径能让工人最快到达安全出口。这是典型的图中带权最短路径问题，适用于Dijkstra、Floyd或Bellman
Ford等算法。

（2）题干强调“安全生产部门即刻监控到突水情况”，并要求“尽快为每个工人制定出有效逃生方案”，这说明问题不仅涉及静态路径查找，还涉及动态时间演进下的路径规划。水流从突水点开始扩散，随着时间推移，某些巷道可能被淹没，使得原本可达的路径变为不可通行，因此逃生路径的选择需基于当前水流状态进行实时调整。这种“时变网络”结构是传统最短路算法难以直接适用的，但可以通过构建动态时间戳网络或引入障碍物权重的方式加以处理。

（3）题干中描述了水流的传播机制：水流以0.1 m初始水位向前漫延，遇到分叉节点时平均分流，且初始水位不变。这意味着水流蔓延速度与巷道长度、水位高度有关，可以转化为时间延迟或路径权重。每一个巷道段都可以根据其长度和水流速度计算出水流到达的时间，进而作为路径权重加入图模型中。这样一来，从任一点出发，找到通向所有出口的最短时间路径就成为核心任务。

（4）题干提到“矿井巷道系统根据矿藏分布和矿脉走向布局”，并使用三维网络结构进行建模，这进一步强化了问题的图结构属性。图中的节点代表巷道断面中心，边代表巷道连接关系，且存在分叉、汇合等复杂拓扑关系。这些都符合最短路算法适用的基本条件——图结构清晰、节点与边之间存在明确的关系。

（5）题干中“各突水点的突水量均为30 m³/min”这一信息，用于计算水流扩散速率，进而影响水流蔓延的时间分布，这也间接决定了不同巷道段在不同时间是否可通行。这就要求在构建最短路模型时，不仅要考虑几何距离，还要考虑水流传播的动态时间特性，使得整个问题具有时变性和空间约束性的双重特征。

（6）问题要求为“每个工人”设计逃生路径，而不是单一路径，说明需要对整个网络中的所有节点分别计算到最近出口的最短路径，这进一步印证了该问题属于广义最短路问题范畴，即多源最短路径或多终点最短路径问题。在实际操作中，可以使用Floyd
Warshall算法预先计算任意两点间的最短距离，再结合水流蔓延模型确定各点的可通行性，最终输出每个点的最优逃生路线。

因此，本题类型可以明确识别为“基于动态网络的最短路算法问题”。它的关键特征是：
出现了“逃生路径”“最短时间”等最短路问题的典型词汇；
矿井巷道网络构成了一个复杂的图结构，具备节点与边的明确映射关系；
水流蔓延的时间特性引入了动态权重概念，使问题具有时变图的特点；
求解目标是从任意起点出发，找到最快抵达出口的路径，符合最短路问题的定义；
使用Dijkstra、Floyd或Bellman
Ford等经典算法进行路径搜索，是解决此类问题的标准方法。

问题2：基于水流漫延模型的矿井逃生路径设计

问题分析

根据问题1中建立的水流漫延模型，我们已经获得了各个节点被淹没的时间信息。现在需要在这些时间信息的基础上，为矿工设计最优逃生路径。这本质上是一个带权最短路径问题，其中权重是到达某个节点所需的时间。

解决思路

1. 构建加权图模型

将矿井巷道网络视为一个有向图，其中：

节点代表巷道断面底边中点

边代表巷道连接关系，权重为从起点到终点所需的时间

时间权重由水流漫延模型决定

2. 建立逃生路径模型

考虑到安全因素，工人应该选择避开淹没区域的路径。因此，在构建图模型时，需要设置：

如果某节点已经被淹没，则不能通过该节点

如果某条巷道的淹没时间早于工人进入该巷道的时间，则该巷道不可通行

若巷道未被淹没，则通行时间为巷道长度除以水流速度

3. 使用Dijkstra算法求解最优逃生路径

数学建模与算法实现

3.1 模型参数定义

设：

$G=(V,E)$：矿井巷道网络图，其中$V$为节点集合，$E$为边集合

$t_{ij}$：水流从节点i流向节点j的时间

$d_i$：节点i被淹没的时间

$v$：水流速度（假设为常数）

$l_{ij}$：巷道从节点i到节点j的长度

3.2 权重函数构建

对于每条巷道$(i,j)$，其权重$w(i,j)$定义如下：

$$w(i,j)=\{\begin{array}{ll}\infty & \text{如果 }{d}_i\le t_0\text{ 或 }{d}_j\le t_0\\ \frac{l_{ij}}{v}& \text{否则}\end{array}$$

其中$t_0$为工人开始逃生的时间点。

3.3 Dijkstra算法步骤

给定源节点$s$（即工人当前位置）和目标节点$t$（安全出口），使用Dijkstra算法寻找从$s$到$t$的最短路径：

1. 初始化：设置所有节点距离为$\infty$，源节点距离为0
2. 将源节点加入优先队列
3. 对于当前节点$u$：

更新所有邻接节点$v$的距离：如果$dist[u]+w(u,v)<dist[v]$，则更新$dist[v]$

将新的最小距离节点加入优先队列
4. 当目标节点$t$被处理完后，得到最短路径

具体实施步骤

第一步：预处理阶段

1. 根据问题1中的水流漫延模型，计算每个节点的淹没时间$d_i$
2. 计算每条巷道的实际长度$l_{ij}$（基于巷道网络结构）
3. 假设水流速度$v=0.1\text{m/min}$（题目给出初始水位0.1m）

第二步：构建图模型

1. 创建邻接表表示的有向图
2. 设置每条边的权重：如果节点已淹没或即将淹没，则权重设为$\infty$
3. 否则，权重为$\frac{l_{ij}}{v}$

第三步：运行Dijkstra算法

1. 输入：源节点$s$（工人位置）、目标节点$t$（出口）
2. 输出：从$s$到$t$的最短路径及总耗时

最终解决方案

逃生路径优化策略

为了确保安全，工人应遵循以下原则：

1. 时间优先原则：选择到达安全出口所需时间最短的路径
2. 避淹原则：避免经过已被水淹没的巷道
3. 动态调整原则：若中途发现路径受阻，及时重新计算路径

算法伪代码

function findEscapePath(source, target):
    // 初始化距离数组
    dist = array of size |V| initialized to infinity
    dist[source] = 0
    
    // 初始化优先队列
    pq = priority queue with (distance, node)
    pq.push((0, source))
    
    while pq is not empty:
        u = pq.pop()
        
        if u == target:
            return dist[target]
            
        for each neighbor v of u:
            if v is not flooded and u is not flooded:
                new_dist = dist[u] + weight(u,v)
                if new_dist < dist[v]:
                    dist[v] = new_dist
                    pq.push((new_dist, v))
    
    return infinity  // 无法到达

实际应用建议

1. 实时监控：结合实时水流监测数据动态调整路径
2. 多路径备选：为每个工人准备至少两条备用逃生路径
3. 分组疏散：根据工人所在位置的不同，合理分配逃生路线
4. 时间缓冲：预留一定的安全时间余量，防止意外情况

通过以上方法，可以为矿工提供科学合理的逃生方案，最大限度地保障人员安全。

import heapq
import math

# 定义节点类
class Node:
    def __init__(self, id, x, y, z):
        self.id = id
        self.x = x
        self.y = y
        self.z = z
        self.flood_time = float('inf')  # 淹没时间

# 定义边类
class Edge:
    def __init__(self, from_node, to_node, length):
        self.from_node = from_node
        self.to_node = to_node
        self.length = length

# 计算两点间欧几里得距离
def distance(p1, p2):
    return math.sqrt((p1[0] - p2[0])**2 + (p1[1] - p2[1])**2 + (p1[2] - p2[2])**2)

# 构建图结构
def build_graph(nodes_data, edges_data):
    nodes = {}
    edges = []
    
    # 创建节点
    for node_data in nodes_data:
        node_id, x, y, z = node_data
        nodes[node_id] = Node(node_id, x, y, z)
    
    # 创建边
    for edge_data in edges_data:
        from_id, to_id = edge_data
        from_node = nodes[from_id]
        to_node = nodes[to_id]
        length = distance((from_node.x, from_node.y, from_node.z), (to_node.x, to_node.y, to_node.z))
        edges.append(Edge(from_node, to_node, length))
    
    return nodes, edges

# 使用Dijkstra算法寻找最短路径
def dijkstra(graph, start_id, end_id, flood_times, water_speed=0.1):
    nodes = graph['nodes']
    edges = graph['edges']
    
    # 初始化距离数组
    distances = {node_id: float('inf') for node_id in nodes}
    distances[start_id] = 0
    previous = {}
    visited = set()
    
    # 优先队列 (距离, 节点ID)
    pq = [(0, start_id)]
    
    while pq:
        current_distance, current_id = heapq.heappop(pq)
        
        if current_id in visited:
            continue
            
        visited.add(current_id)
        
        if current_id == end_id:
            break
            
        # 遍历邻居节点
        for edge in edges:
            if edge.from_node.id == current_id:
                neighbor_id = edge.to_node.id
                if neighbor_id in visited:
                    continue
                    
                # 检查是否可通行
                if flood_times[current_id] <= 0 or flood_times[neighbor_id] <= 0:
                    continue
                    
                # 计算通行时间
                time_to_travel = edge.length / water_speed
                
                # 更新距离
                new_distance = current_distance + time_to_travel
                if new_distance < distances[neighbor_id]:
                    distances[neighbor_id] = new_distance
                    previous[neighbor_id] = current_id
                    heapq.heappush(pq, (new_distance, neighbor_id))
    
    # 构造路径
。。。

这是一个网络流算法问题，核心在于模拟和分析在具有复杂三维结构的矿井巷道网络中，由两个突水点引发的水流漫延过程。问题的本质是将矿井巷道系统建模为一个有向图，其中节点代表巷道断面的中点，边代表巷道连接关系，并赋予每条边以容量限制（由巷道尺寸和水流速度决定），从而将水流漫延问题转化为图论中的最大流或最小费用流问题。题目要求建立数学模型来描述这种水流在巷道中的流动过程，尤其是在出现多个突水点的情况下，水流如何在巷道网络中传播并达到各个节点。

为什么这样判断？可以从以下几个特征点来说明：

（1）题干明确指出矿井巷道系统为一种三维网络结构，且巷道之间存在复杂的交叉与分叉关系。这种结构非常类似于图论中的有向图或无向图，其中每个节点表示一个巷道断面的中点，每条边表示连接两个巷道断面的通道。这样的结构非常适合用图论方法进行建模与分析，尤其是网络流理论的应用场景。

（2）题目中提到“水流以0.1 m的初始水位向前漫延”，并规定“当水流漫延到巷道的分叉节点处时，水流向水平巷道和下行巷道平均分流”，这说明水流不仅有方向性，还有分配规则。这正是网络流模型中流量分配的基本特征——节点处的流量守恒，流入等于流出（除源点和汇点外）。因此，该问题具备典型的网络流问题属性。

（3）题干还指出“各突水点的突水量均为30 m³/min”，这是一个单位时间内的流量输入，相当于网络流模型中的源点流量。同时，由于巷道断面为矩形（宽4 m，高3 m），可以据此计算巷道的最大承载能力（即单位时间内水流的最大通过量），进而作为边的容量限制。这就构成了网络流模型中的关键参数。

（4）问题3特别关注“两个突水点”的情况，意味着需要考虑多个源点对整个网络的影响，这进一步强化了问题属于多源网络流问题范畴。在这种情况下，水流可能会在不同路径间发生叠加或竞争，需使用最大流算法或最小费用流算法来确定水流在各路径上的分布情况，从而分析其漫延路径和最终状态。

（5）题目要求“建立突水水流在巷道的流动漫延模型”，而不是仅仅给出结果。这意味着模型不仅要能够反映水流的传播过程，还需具备动态演进的能力，能够随着时间推进模拟水流在不同时间段的状态变化。这种时间演化特性也符合网络流模型中动态流（Dynamic Flow）的特征，尽管本题未明确要求时间维度，但其本质仍是基于流量与路径的建模。

（6）此外，题目中所描述的“巷道断面底边与水平面平行”、“突水点初始水位为0.1 m”、“水流在分叉处平均分流”等细节，都是为了刻画水流物理行为的边界条件，这些信息在构建网络流模型时会作为输入参数或约束条件参与运算。例如，初始水位决定了水流起始高度，而巷道断面尺寸则影响了最大水流承载能力。

因此，本题可以明确识别为“网络流算法与动态模拟问题”。它的关键特征是：

存在多个水源点（突水点）和复杂拓扑结构（巷道网络）

水流具有方向性、分流性和容量限制

需要模拟水流随时间演变的过程

使用图论中的最大流或最小费用流方法建模

强调对水流路径、扩散速度和节点水位变化的刻画

属于典型的工程应用型数学建模问题，具有较强的实际指导意义

问题3：双突水点水流漫延模型与逃生方案

一、问题分析

这是一个典型的多源网络流问题，需要考虑两个突水点同时发生突水的情况。我们需要建立一个数学模型来描述水流在矿井巷道网络中的传播过程，包括：

水流从突水点出发，在巷道中传播

在分叉节点处水流平均分流

计算各巷道的水位变化

判断何时节点被淹没

构建网络流模型进行求解

二、模型假设

1. 巷道几何特性：所有巷道断面均为4m×3m矩形，底边与水平面平行。
2. 水流特性：初始水位为0.1m，保持不变；水流速度与流量成正比。
3. 水流传播机制：

水流从突水点开始向前传播

在分叉节点处分流，流向水平和下行巷道

水流沿巷道方向传播，不考虑反向流动
4. 突水特性：两个突水点同时发生，每点突水量为30m³/min。
5. 时间离散化：将时间划分为离散的时间步长进行模拟。

三、变量定义

设：

$V_i$：第$i$个节点的体积（m³）

$h_i$：第$i$个节点的水位高度（m）

$Q_s$：每个突水点的突水量（m³/min）

$A_c$：巷道断面积（m²）

$L_{ij}$：从节点$i$到节点$j$的巷道长度（m）

$t$：时间（min）

四、数学建模

4.1 巷道断面积计算

对于矩形断面巷道：
$$A_c=4\times 3=12{\text{ m}}^2$$

4.2 水位变化模型

在任意时刻$t$，某段巷道中的水量为：
$$V(t)=A_c\cdot h(t)$$

由于突水点持续供水，单位时间内增加的水量为：
$$\frac{dV}{dt}=Q_s$$

因此，水位变化率为：
$$\frac{dh}{dt}=\frac{Q_s}{A_c}=\frac{30}{12}=2.5\text{ m/min}$$

4.3 网络流模型构建

我们将整个矿井巷道网络抽象为一个有向图$G=(N,E)$，其中：

节点集合$N$包括所有巷道断面底边中点

边集合$E$表示巷道连接关系

每条边$(i,j)\in E$都有一个容量限制$c_{ij}$，表示该巷道的最大过水能力

边容量计算

对于每条巷道段$(i,j)$，其最大过水能力可由以下公式确定：
$$c_{ij}=A_c\cdot v_{max}$$

其中$v_{max}$是水流在该巷道中的最大流速。这里我们简化处理，假定每个巷道的最大过水能力为：
$$c_{ij}=100{\text{ m}}^3/\text{min}$$

突水点作为源点

设两个突水点分别为$s_1$和$s_2$，它们是网络中的源点，具有无限供应能力。

出入口作为汇点

所有的出入口节点作为汇点，用于接收水流并排出。

4.4 分叉节点分流规则

当水流到达一个分叉节点$k$时，如果它有$n_k$条出边，则每条出边获得的流量为：
$$Q_k^{out}=\frac{Q_k^{in}}{n_k}$$

4.5 时间推进算法

为了模拟水流的动态传播过程，采用以下步骤：

1. 初始化所有节点水位为0；
2. 设置突水点初始流量为30m³/min；
3. 对于每个时间步长Δt：

更新各个巷道的流量分配；

计算各节点的水位；

判断是否有节点被淹没（水位≥0.1m）；

更新水流路径和节点状态；

如果某个节点已满，则停止向该方向扩展。

五、最大流算法应用

我们可以使用最大流算法来解决这个问题，具体步骤如下：

步骤1：构造增广路径图

将原始网络转换为一个带有容量限制的增广图$G^{\prime }$，其中：

原始节点不变

添加超级源点$s$连接到两个突水点$s_1$和$s_2$

添加超级汇点$t$，从所有出入口节点连向$t$

步骤2：设定容量约束

源点到突水点的容量设为无穷大（表示可以无限制供水）

每条巷道边的容量为$c_{ij}=100{\text{ m}}^3/\text{min}$

所有其他边容量设为无穷大

步骤3：执行最大流算法

使用Ford
Fulkerson算法或Edmonds
Karp算法寻找从源点到汇点的最大流。

六、结果输出

通过上述模型，我们可以得到：

1. 水流传播路径：哪些巷道会被水流覆盖
2. 淹没时间表：每个节点何时被淹没
3. 水位变化趋势：各节点随时间的变化情况
4. 逃生路线规划：基于当前水位分布推荐安全撤离路径

七、模型验证与优化

1. 边界条件检查：确保在每个节点处流量守恒
2. 稳定性检验：确认水流不会在某些区域出现异常聚集
3. 实时性评估：考虑实际应用中对计算效率的要求

这个模型不仅适用于单一突水点的情况，也可以推广到多个突水点的情形，为矿井应急救援提供科学依据和技术支持。

import numpy as np
import networkx as nx
from collections import deque

# 参数设置
WIDTH = 4       # 巷道宽度 (m)
HEIGHT = 3      # 巷道高度 (m)
ACROSS_AREA = WIDTH * HEIGHT  # 巷道断面积 (m²)
INITIAL_WATER_LEVEL = 0.1  # 初始水位 (m)
FLOW_RATE = 30  # 每个突水点的突水量 (m³/min)
MAX_FLOW_CAPACITY = 100  # 每条巷道的最大过水能力 (m³/min)
TIME_STEP = 1  # 时间步长 (min)

# 创建图结构
G = nx.DiGraph()

# 示例节点坐标 (根据实际数据替换)
nodes = {
    's1': (0, 0, 0),  # 突水点1
    's2': (1, 1, 0),  # 突水点2
    'a': (2, 0, 0),
    'b': (3, 0, 0),
    'c': (2, 1, 0),
    'd': (3, 1, 0),
    'e': (4, 0, 0),
    'exit1': (5, 0, 0),
    'exit2': (5, 1, 0)
}

edges = [
    ('s1', 'a'), ('s1', 'c'),
    ('s2', 'b'), ('s2', 'c'),
    ('a', 'b'), ('a', 'd'),
    ('b', 'e'), ('c', 'd'),
    ('d', 'e'), ('e', 'exit1'),
    ('d', 'exit2')
]

# 添加节点和边
for node, pos in nodes.items():
    G.add_node(node, pos=pos, water_level=0.0, is_flooded=False)

for u, v in edges:
    G.add_edge(u, v, capacity=MAX_FLOW_CAPACITY)

# 初始化突水点
source_nodes = ['s1', 's2']
for node in source_nodes:
    G.nodes[node]['water_level'] = INITIAL_WATER_LEVEL

# 使用广度优先搜索模拟水流传播
def simulate_water_flow(G, time_limit=60):
    time = 0
    water_levels = {}
    
    # 初始化水位
    for node in G.nodes():
        water_levels[node] = G.nodes[node]['water_level']
    
    # 存储每个节点被淹没的时间
    flood_times = {node: float('inf') for node in G.nodes()}
    
    # 从突水点开始传播
。。

这是一个最短路算法应用问题，核心目标是在矿井突水事件发生后，基于水流蔓延模型，为涉险人员提供从任意位置到最近出入口的安全撤离路径。该问题本质上是图论中的最短路径问题，结合了动态水流扩散的时空特性，要求在复杂三维巷道网络中构建一个能够实时反映水位变化与通行受限情况的路径优化模型。

为什么这样判断？可以从以下几个特征点来说明：

（1）题干明确指出“当矿井出现第二个突水点后”，意味着系统状态发生变化，原有的水流蔓延路径和逃生路线需重新评估。这种动态环境下的路径规划是典型的最短路径问题扩展形式，尤其是涉及多源点、多障碍物、时间依赖性的路径搜索，必须借助图论中的最短路算法进行建模和求解。

（2）题干描述了巷道结构为复杂三维网络，其中每条巷道段用其两端断面底边中点连线表示，这相当于将整个矿井抽象为一个带权有向图，节点代表巷道交汇点（包括出入口），边代表巷道段，权重则可由水流传播速度、水位高度、通行能力等因素综合确定。在这样的图结构上寻找从任意起点到终点的最短路径，正是最短路算法的经典应用场景。

（3）题目中提到“突水水量恒定为30 m³/min”，并且“初始水位为0.1 m”，这些物理参数直接影响水流蔓延的速度与范围，进而影响可通行区域的划分。因此，在构建最短路模型时，不仅需要考虑传统意义上的距离或时间权重，还需引入基于水流扩散的动态权重函数，使得路径长度不再是静态常数，而是随时间演进的状态变量。

（4）题干强调“安全生产部门即刻监控到突水情况，并尽快调整逃生方案”，说明该问题具有强烈的时效性和应急响应属性。在突发事件发生后的紧急状态下，快速计算并更新最优逃生路径，是保障人员生命安全的关键环节。Dijkstra算法、Floyd算法或Bellman
Ford算法均可用于此类场景下的路径查找与优化，尤其适用于节点数量较多但边数适中的复杂网络结构。

（5）题干还隐含了“最佳逃生路径”的概念，即不仅要求路径最短，还要避开已被水淹没或即将被淹没的区域。这就需要将水流蔓延的时间演化过程嵌入到路径搜索过程中，形成一个带有时间维度的动态最短路问题。比如，可以利用Dijkstra算法的改进版本，在每次扩展节点时同时考虑当前节点是否已处于洪水淹没状态，若已被淹没则跳过该节点，确保所选路径始终处于安全状态。

（6）问题背景属于典型的工程安全与应急管理领域，其数学建模过程需兼顾实际矿井结构特点与灾害应对需求。矿井巷道网络的拓扑结构决定了路径的连通性与多样性，而突水事件引发的水位上升又会对通行条件产生动态改变，因此最终模型必须能够支持实时路径重规划与多目标优化，例如在保证路径最短的同时，优先选择坡度较小、通风良好、便于救援的通道。

因此，本题类型可以明确识别为“基于动态水流蔓延模型的最短路算法应用问题”。它的关键特征是：

存在多个突水点，导致水流蔓延路径复杂且动态变化；

矿井巷道网络呈三维立体交叉结构，抽象为图模型；

需要结合水流扩散速度与水位高度构建动态权重；

实现从任意位置到最近出入口的安全路径搜索；

应用于应急救援与安全生产管理，强调实时性与安全性；

数学核心为图论中的最短路径问题，适配Dijkstra、Floyd或Bellman Ford等经典算法。

问题4：矿井突水后第二突水点出现时的最佳逃生路径调整

一、问题理解

在矿井突发水灾的情况下，我们需要建立一个动态的水流漫延模型，并基于此模型计算出安全的逃生路径。当出现第二个突水点时，需要重新规划所有人员的安全撤离路线。

二、模型构建

1. 基础参数设定

巷道断面尺寸：宽4m × 高3m

初始水位：0.1m

突水流量：30 m³/min

水流传播速度：假设为常数v（需通过水力学原理确定）

2. 水流传播建模

对于任意一条巷道AB，其长度为L，则：

$$t=\frac{L}{v}$$

其中v是水流在该巷道中的传播速度，可通过以下方式估算：
$$v=\sqrt{2gh}$$

这里g为重力加速度(9.8m/s²)，h为水深(0.1m)。

因此：
$$v=\sqrt{2\times 9.8\times 0.1}\approx 1.4\text{ m/s}$$

3. 时间计算

如果巷道长度为L米，则水流到达的时间为：
$$T_{AB}=\frac{L}{1.4}\text{ 秒}$$

转换成分钟为：
$$T_{AB}=\frac{L}{1.4\times 60}\text{ 分钟}$$

4. 分流机制建模

当水流到达分叉节点时，按如下规则分配：

若有水平巷道，则将水流平均分配给水平巷道

若有下行巷道，则将水流平均分配给下行巷道

三、图论模型构建

1. 图结构定义

节点：代表巷道的端点或交汇点

边：代表巷道段，权重为水流到达时间

权重函数：$w(i,j)=\frac{d(i,j)}{v}$其中$d(i,j)$为两点间距离

2. 多源最短路径问题

由于有两个突水点，我们需要同时考虑两个源点对整个网络的影响。

四、算法实现步骤

步骤1：构建图模型

将矿井巷道网络表示为一个加权有向图G=(V,E)，其中：

V为节点集合，每个节点对应巷道的一个端点

E为边集合，每条边代表一条巷道段，权重为水流传播时间

步骤2：计算水流传播时间

对于每条巷道段$(i,j)$，其传播时间为：
$$t_{ij}=\frac{l_{ij}}{1.4\times 60}$$

其中$l_{ij}$为巷道长度。

步骤3：应用Dijkstra算法

针对每一个出口节点，使用Dijkstra算法计算从所有节点到该出口的最短路径。

步骤4：动态障碍处理

随着水流的扩散，标记已被淹没的巷道段为不可通行状态。

五、具体算法流程

1. 初始化阶段

# 初始化图结构
graph = {}
for each node in nodes:
    graph[node] = {}

# 计算各巷道段的时间权重
for each edge in edges:
    length = calculate_length(edge.start, edge.end)
    time_weight = length / (1.4 * 60)
    graph[edge.start][edge.end] = time_weight

2. 构造多源最短路径

# 对于每个出口，运行Dijkstra算法
for exit_node in exits:
    distances = dijkstra(graph, exit_node)

3. 动态更新机制

def update_water_level(current_time):
    # 根据当前时间和突水点位置，更新哪些巷道已被淹没
    flooded_areas = []
    for point in [point1, point2]:
        flood_time = get_flood_time(point)
        if current_time >= flood_time:
            # 添加受影响的巷道段
            flooded_areas.extend(get_affected_segments(point))
    return flooded_areas

六、结果分析

1. 安全逃生路径选择标准

最快到达最近出口的时间

路径上的水位影响最小

保证路径连续性和安全性

2. 优化策略

使用双源最短路径算法，综合考虑两个突水点的影响

实时监测水流蔓延情况，动态调整逃生路线

提供多个备选路线以应对突发状况

七、最终解决方案

1. 数学表达式

设$s_1,s_2$为两个突水点，$e_i$为第$i$个出口，$d(s_j,e_i)$为从突水点$s_j$到出口$e_i$的最短距离，则：

$$\underset{i,j}{\min }d(s_j,e_i)+t_{s_j}$$

其中$t_{s_j}$为突水点$s_j$开始涌水到当前时间的累计水量所形成的水位高度。

2. 算法复杂度

时间复杂度：$O((|V|+|E|)\log |V|)$

空间复杂度：$O(|V{|}^2)$

3. 实施建议

1. 建立实时监控系统，持续跟踪水流蔓延情况
2. 设置预警机制，在水位达到临界值前发出警报
3. 提供可视化界面，直观展示当前水位分布和推荐逃生路线
4. 定期更新模型参数，提高预测准确性

八、结论

通过建立基于图论的水流传播模型和采用Dijkstra算法求解最短路径问题，可以有效地为矿井人员提供最优的逃生路径建议。该模型不仅考虑了单个突水点的情况，还能处理多个突水点同时发生的情形，为安全生产部门提供了科学决策支持。

import heapq
import math
from collections import defaultdict

# 参数设置
WIDTH = 4  # 巷道宽度 (m)
HEIGHT = 3  # 巷道高度 (m)
INITIAL_WATER_LEVEL = 0.1  # 初始水位 (m)
FLOW_RATE = 30  # 突水流量 (m³/min)
GRAVITY = 9.8  # 重力加速度 (m/s²)
SPEED_CONSTANT = math.sqrt(2 * GRAVITY * INITIAL_WATER_LEVEL)  # 水流速度 (m/s)

# 示例数据结构
nodes = {}  # 节点信息 {node_id: (x, y, z)}
edges = []  # 边信息 [(start_node, end_node, length), ...]
exits = []  # 出口节点列表
sources = []  # 突水点列表

# 构建图模型
def build_graph():
    graph = defaultdict(lambda: defaultdict(float))
    for start_node, end_node, length in edges:
        time_weight = length / (SPEED_CONSTANT * 60)
        graph[start_node][end_node] = time_weight
    return graph

# Dijkstra算法求最短路径
def dijkstra(graph, start_node):
    distances = defaultdict(lambda: float('inf'))
    distances[start_node] = 0
    pq = [(0, start_node)]
    
    while pq:
        current_distance, current_node = heapq.heappop(pq)
        
        if current_distance > distances[current_node]:
            continue
            
        for neighbor, weight in graph[current_node].items():
            distance = current_distance + weight
            
            if distance < distances[neighbor]:
                distances[neighbor] = distance
                heapq.heappush(pq, (distance, neighbor))
                
    return distances

# 计算水流传播时间
def compute_flow_time(length):
    return length / (SPEED_CONSTANT * 60)

# 动态更新被淹没区域
def update_flooded_areas(current_time, sources):
。。

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