Prim算法的C语言实现及测试用例

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本文详细介绍了Prim算法的原理,提供了C语言的实现代码,并通过一个5顶点图的测试用例验证了算法的正确性。算法从任意顶点开始,逐步构造最小生成树,直至覆盖所有顶点。

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Prim算法是一种用于解决最小生成树问题的贪心算法。在这篇文章中,我将展示如何使用C语言实现Prim算法,并提供相应的测试用例。以下是详细的实现过程和源代码。

算法原理

Prim算法的目标是从一个连通的加权无向图中找到一棵包含所有顶点的最小生成树。算法的基本思想是从一个初始顶点开始,逐步扩展最小生成树的边集合,直到包含所有顶点为止。

具体步骤如下:

  1. 选择一个任意顶点作为初始顶点,将其标记为已访问。
  2. 重复以下步骤,直到所有顶点都被标记为已访问:
    • 在已访问的顶点集合和未访问的顶点集合之间的边中,选择权值最小的边。
    • 将选择的边添加到最小生成树的边集合中。
    • 将连接到选择的边的未访问顶点标记为已访问。

C语言实现

下面是使用C语言实现Prim算法的源代码:

#include <stdio.h>
#<
<think>我们首先需要明确用户的需求:用户需要一个用C语言实现Prim算法模板,用于解决最小生成树问题。 Prim算法是一种贪心算法,用于在加权连通图中寻找最小生成树。其基本思想是从一个顶点开始,逐步扩展生成树,每次选择连接生成树和非生成树顶点中权值最小的边。 实现步骤: 1. 初始化:选择一个起始顶点,将其加入生成树。 2. 重复以下步骤,直到生成树包含所有顶点: a. 在生成树顶点和非生成树顶点之间选择一条权值最小的边。 b. 将这条边所连接的非生成树顶点加入生成树,并将这条边加入最小生成树。 在实现中,我们通常使用三个关键数组: - `key[]`:记录每个顶点到生成树的最小权值(初始为无穷大,起始点为0)。 - `parent[]`:记录最小生成树中每个顶点的父节点(用于构建生成树)。 - `mstSet[]`:记录顶点是否已加入最小生成树。 我们使用邻接矩阵来表示图,也可以使用邻接表,但这里为简单起见,使用邻接矩阵。 注意:这个实现假设图是连通的。如果图不连通,则需要修改以处理多个连通分量。 以下是Prim算法的C语言实现模板:</think>### Prim算法C语言实现模板 Prim算法用于求解加权连通图的最小生成树(MST)。以下是基于邻接矩阵的完整实现模板: ```c #include <stdio.h> #include <limits.h> #define V 5 // 顶点数(根据实际修改) // 查找最小key值的顶点索引 int minKey(int key[], bool mstSet[]) { int min = INT_MAX, min_index; for (int v = 0; v < V; v++) if (mstSet[v] == false && key[v] < min) min = key[v], min_index = v; return min_index; } // 打印最小生成树 void printMST(int parent[], int graph[V][V]) { printf("Edge \tWeight\n"); for (int i = 1; i < V; i++) printf("%d - %d \t%d\n", parent[i], i, graph[i][parent[i]]); } // Prim算法核心实现 void primMST(int graph[V][V]) { int parent[V]; // 存储MST结构 int key[V]; // 记录顶点到MST的最小权值 bool mstSet[V]; // 标记顶点是否已在MST中 // 初始化所有key为无穷大,mstSet为false for (int i = 0; i < V; i++) key[i] = INT_MAX, mstSet[i] = false; key[0] = 0; // 选择0号顶点作为起点 parent[0] = -1; // 根节点无父节点 for (int count = 0; count < V - 1; count++) { int u = minKey(key, mstSet); // 选取最小key顶点 mstSet[u] = true; // 加入MST集合 // 更新邻接顶点的key和parent for (int v = 0; v < V; v++) if (graph[u][v] && mstSet[v] == false && graph[u][v] < key[v]) parent[v] = u, key[v] = graph[u][v]; } printMST(parent, graph); // 输出结果 } // 测试用例 int main() { /* 示例图(邻接矩阵): 2 3 (0)--(1)--(2) | / \ | 6| 8/ \5 |7 | / \ | (3)-------(4) 9 */ int graph[V][V] = { {0, 2, 0, 6, 0}, {2, 0, 3, 8, 5}, {0, 3, 0, 0, 7}, {6, 8, 0, 0, 9}, {0, 5, 7, 9, 0} }; primMST(graph); // 执行Prim算法 return 0; } ``` #### 关键说明: 1. **时间复杂度**:$O(V^2)$(邻接矩阵),使用优先队列可优化到$O(E \log V)$ 2. **空间复杂度**:$O(V)$(存储key/parent数组) 3. **输入要求**:邻接矩阵`graph[V][V]`,非连接边用0表示 4. **输出格式**:打印最小生成树的边及权重 #### 使用步骤: 1. 修改宏定义`V`为实际顶点数 2. 在`main()`中初始化邻接矩阵 3. 调用`primMST()`获取结果 #### 示例输出: ``` Edge Weight 0 - 1 2 1 - 2 3 0 - 3 6 1 - 4 5 ```
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