复信号模型下的QPSK信号循环谱推导与Matlab实现

复信号模型下的QPSK信号循环谱推导与Matlab实现

循环谱是分析数字通信系统中调制信号的一种重要方法，它能够提供信号在频率和时间上的信息。在复信号模型下，我们将推导QPSK（Quadrature Phase Shift Keying）信号的循环谱，并使用Matlab进行实现。

1. 复信号模型下的QPSK信号

QPSK调制是一种基于相位变换的数字调制技术，它将两个独立的比特流映射到正交的I、Q两路信号上。QPSK信号可以表示为：

s(t) = I(t) * cos(2πfct) - Q(t) * sin(2πfct)

其中，I(t)和Q(t)分别表示I路和Q路上的基带信号，f_c为载频率。

2. 循环谱的推导

循环谱是将信号的自相关函数进行傅里叶变换得到的，对于QPSK信号的循环谱推导如下所示：

首先，我们可以得到QPSK信号的自相关函数R_s(τ)：

R_s(τ) = E[s(t) * s*(t-τ)]

其中，*表示共轭复数，E[·]表示期望运算。

将QPSK信号代入上式，并利用欧拉公式展开，可以得到：

R_s(τ) = E[(I(t) * cos(2πfct) - Q(t) * sin(2πfct)) * (I(t-τ) * cos(2πf_c(t-τ)) + Q(t-τ) * sin(2πf_c(t-τ)))]

根据三角函数的和差化积公式，我们可以将上式展开为四项，分别表示为：

A = E[I(t) * I(t-τ)]
B = E[I(t) * Q(t-τ)]