用有限差分法求解随时间变化的平流方程

用有限差分法求解随时间变化的平流方程

有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法，常用于求解偏微分方程。在本文中，我们将使用有限差分法来求解随时间变化的平流方程 ut = -c * ux，其中 u 是关于时间 t 和空间 x 的函数，c 是恒定速度。

为了将平流方程转化为离散形式，我们将时间和空间分割成离散的网格点。设时间步长为 Δt，空间步长为 Δx。我们用 u(i,j) 表示在时间步 i 和空间步 j 处的近似解，其中 i 和 j 分别表示时间和空间的索引。

使用有限差分法，我们可以将平流方程的导数近似为：

ut ≈ (u(i+1,j) - u(i,j)) / Δt
ux ≈ (u(i,j+1) - u(i,j-1)) / (2 * Δx)

将近似后的导数代入平流方程中，我们可以得到离散形式的方程：

(u(i+1,j) - u(i,j)) / Δt = -c * (u(i,j+1) - u(i,j-1)) / (2 * Δx)

进一步整理，得到 u(i+1,j) 的表达式：

u(i+1,j) = u(i,j) - c * Δt * (u(i,j+1) - u(i,j-1)) / (2 * Δx)

这个表达式描述了在时间步 i+1 处的 u 值如何由时间步 i 处的 u 值计算得出。我们可以从初始条件 u(0,j) 开始，使用该表达式迭代计算 u(i,j) 直到达到所需的时间步数。

下面是用 C++ 实现上述算法的源代码：