【sgu】106 解题报告

106.不定方程 

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这是一个不定方程 ax + by + c = 0. 你被告之a,b,c,x1,x2,y1,y2。求方程有多少组整数解(x, y)满足: x1<=x<=x2, y1<=y<=y2。

输入

   包含用空格或回车隔开的 a,b,c,x1,x2,y1,y2。它们都是绝对值不超过 108的整数。

输出

答案。

样例输入

1 1 -3
0 4
0 4

样例输出

4

 

【解题思路】

应该说这是一道数学题……纯到不能再纯的数学题。

先把a，b等于零的情况特判掉，否则后面会挂。

首先我用扩展欧几里得算法求出一组ax+by=gcd(a,b)，把解当成一个平面坐标，当然这个解很可能不在x1-x2,y1-y2这个矩形之内。

由线性组的性质，我们可以想到所有的解(x,y)必定是平面上一条直线上的一些离散点。

我们考虑把“矩形-约束-斜线离散点”转化成“区间-约束-水平线离散点”

用点斜式方程解出y=y1,y2时x的值，更新x1,x2（这里要根据斜率正负分情况讨论上下界）

这样我们就是已知一个点x和两相邻点之间的距离dx(dx=b div gcd(a,b))求这样的点在区间内的个数

讨论x与区间的位置关系以及区间两端的可选情况即可。详见以下代码。

【AC代码】

//sgu 106 by NPC_T var a,b,c,d,x1,x2,y1,y2,dx,k,x,y,i,j:int64; function gcd(a,b:int64):int64; var tmp:longint; begin if b=0 then begin x:=1; y:=0; gcd:=a; exit; end; gcd:=gcd(b,a mod b); tmp:=x; x:=y; y:=tmp-y*(a div b); end; begin read(a,b,c,x1,x2,y1,y2); if (a=0) and (b=0) then begin if c=0 then writeln((x2-x1+1)*(y2-y1+1)) else writeln(0); halt; end; if a=0 then begin if ((-c) mod b=0) and (y1<=(-c) div b) and (y2>=(-c) div b) then writeln(1) else writeln(0); halt; end; if b=0 then begin if ((-c) mod a=0) and (x1<=(-c) div a) and (x2>=(-c) div a) then writeln(1) else writeln(0); halt; end; c:=-c; d:=gcd(a,b); if c mod d<>0 then begin writeln(0); halt; end; k:=c div d; x:=x*k; y:=y*k; dx:=abs(b div d); if a*b>0 then begin i:=b*y-b*y2; if i mod a=0 then i:=i div a else i:=i div a+1; y2:=i+x; y1:=(a*x-b*y1+b*y) div a; if y2>x1 then x1:=y2; if y1<x2 then x2:=y1; end else begin i:=b*y-b*y1; if i mod a=0 then i:=i div a else i:=i div a+1; y1:=i+x; y2:=(a*x-b*y2+b*y) div a; if y1>x1 then x1:=y1; if y2<x2 then x2:=y2; end; if (x1<=x) and (x2>=x) then writeln(((x2-x)div dx)+((x-x1)div dx)+1) else if x1<=x then writeln((x-x1)div dx-(x-x2)div dx+ord((x-x2)mod dx=0)) else writeln((x2-x)div dx-(x1-x)div dx+ord((x1-x)mod dx=0)); end.