几种最短路径算法的比较

最短路径搜索方法对比—Dijkstra,Best-first和A* search 前言 由于最近在看最短路径方面的论文,就最短路径搜索算法,这里的最短路径是泛指的,不一定是距离也可能是行进时间、花费开销等,在这里我们用实际距离。最经典的并且常常作为其它改进算法的baseline的就是Dijkstra、Best-first以及A* search,因此深入理解这些方法对于后续的研究是很重要的。根据我自己的理解以及一些论文里的解释,我将对他们做一个简要的对比(只提取我认为重要的)。 评价函数(Evaluation function):这三种方法的最主要区别在于选取最短路径的下一个节点的评价 阅读详情

用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”,有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有:

Dijkstra算法、A*算法、SPFA算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法,本文主要介绍其中的三种。
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路
径。

算法具体的形式包括:
确定起点的最短路径问题:即已知起始结点,求最短路径的问题。
确定终点的最短路径问题:与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题。在无向图中
该问题与确定起点的问题完全等同,在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
确定起点终点的最短路径问题:即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径。
全局最短路径问题:求图中所有的最短路径。

Floyd
求多源、无负权边的最短路。用矩阵记录图。时效性较差,时间复杂度O(V^3)。
Floyd-Warshall算法(Floyd-Warshall algorithm)是解决任意两点间的最短路径的一种算法,可以正确处理
有向图或负权的最短路径问题。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N^3),空间复杂度为O(N^2)。
Floyd-Warshall的原理是动态规划:
设Di,j,k为从i到j的只以(1..k)集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。
若最短路径经过点k,则Di,j,k = Di,k,k-1 + Dk,j,k-1;
若最短路径不经过点k,则Di,j,k = Di,j,k-1。
因此,Di,j,k = min(Di,k,k-1 + Dk,j,k-1 , Di,j,k-1)。
在实际算法中,为了节约空间,可以直接在原来空间上进行迭代,这样空间可降至二维。

Floyd-Warshall算法的描述如下:
for k ← 1 to n do 
for i ← 1 to n do 
for j ← 1 to n do 
if (Di,k + Dk,j < Di,j) then  
Di,j ← Di,k + Dk,j; 

其中Di,j表示由点i到点j的代价,当Di,j为 ∞ 表示两点之间没有任何连接。


Dijkstra
求单源、无负权的最短路。时效性较好,时间复杂度为O(V*V+E),可以用优先队列进行优化,优化后时间复杂
度变为0(v*lgn)。
源点可达的话,O(V*lgV+E*lgV)=>O(E*lgV)。
当是稀疏图的情况时,此时E=V*V/lgV,所以算法的时间复杂度可为O(V^2) 。可以用优先队列进行优化,优
化后时间复杂度变为0(v*lgn)。
Bellman-Ford
求单源最短路,可以判断有无负权回路(若有,则不存在最短路),时效性较好,时间复杂度O(VE)。
Bellman-Ford算法是求解单源最短路径问题的一种算法。
单源点的最短路径问题是指:给定一个加权有向图G和源点s,对于图G中的任意一点v,求从s到v的最短路径。
与Dijkstra算法不同的是,在Bellman-Ford算法中,边的权值可以为负数。设想从我们可以从图中找到一个环
路(即从v出发,经过若干个点之后又回到v)且这个环路中所有边的权值之和为负。那么通过这个环路,环路
中任意两点的最短路径就可以无穷小下去。如果不处理这个负环路,程序就会永远运行下去。 而Bellman-Ford
算法具有分辨这种负环路的能力。

SPFA
是Bellman-Ford的队列优化,时效性相对好,时间复杂度O(kE)。(k<<v)。
与Bellman-ford算法类似,SPFA算法采用一系列的松弛操作以得到从某一个节点出发到达图中其它所有节点的
最短路径。所不同的是,SPFA算法通过维护一个队列,使得一个节点的当前最短路径被更新之后没有必要立刻
去更新其他的节点,从而大大减少了重复的操作次数。
SPFA算法可以用于存在负数边权的图,这与dijkstra算法是不同的。
与Dijkstra算法与Bellman-ford算法都不同,SPFA的算法时间效率是不稳定的,即它对于不同的图所需要的时
间有很大的差别。
在最好情形下,每一个节点都只入队一次,则算法实际上变为广度优先遍历,其时间复杂度仅为O(E)。另一方
面,存在这样的例子,使得每一个节点都被入队(V-1)次,此时算法退化为Bellman-ford算法,其时间复杂度为
O(VE)。
SPFA算法在负边权图上可以完全取代Bellman-ford算法,另外在稀疏图中也表现良好。但是在非负边权图中,


为了避免最坏情况的出现,通常使用效率更加稳定的Dijkstra算法,以及它的使用堆优化的版本。

<v)。

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原文地址:http://blog.chinaunix.net/uid-27164517-id-3287891.html

最短路径算法综述:原理、比较与实现 最短路径算法在不同的应用场景中有各自的优势。Dijkstra 算法在边权非负的情况下效率较高;Bellman - Ford 算法可处理负权边但时间复杂度较高;Floyd - Warshall 算法适用于求解所有节点对最短路径;A*算法利用启发式信息在目标导向的搜索中表现出色。在实际应用中,需要根据图的性质(如是否有负权边、稀疏程度等)、问题的类型(单源或所有节点对最短路径)以及是否有启发式信息等因素来选择合适的最短路径算法。通过对这些算法的深入理解和正确应用,可以有效地解决各种实际的路径规划和网络优化问题。 阅读详情

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B. Palm", title = "Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data", year = "2012",}```Contact: rasmusbergpalm at gmail dot comDirectories included in the toolbox-----------------------------------`NN/` - A library for Feedforward Backpropagation Neural Networks`CNN/` - A library for Convolutional Neural Networks`DBN/` - A library for Deep Belief Networks`SAE/` - A library for Stacked Auto-Encoders`CAE/` - A library for Convolutional Auto-Encoders`util/` - Utility functions used by the libraries`data/` - Data used by the examples`tests/` - unit tests to verify toolbox is workingFor references on each library check REFS.mdSetup-----1. Download.2. addpath(genpath('DeepLearnToolbox'));Example: Deep Belief Network---------------------```matlabfunction test_example_DBNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit RBM and visualize its weightsrand('state',0)dbn.sizes = [100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);figure; visualize(dbn.rbm{1}.W'); % Visualize the RBM weights%% ex2 train a 100-100 hidden unit DBN and use its weights to initialize a NNrand('state',0)%train dbndbn.sizes = [100 100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);%unfold dbn to nnnn = dbnunfoldtonn(dbn, 10);nn.activation_function = 'sigm';%train nnopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.10, 'Too big error');```Example: Stacked Auto-Encoders---------------------```matlabfunction test_example_SAEload mnist_uint8;train_x = double(train_x)/255;test_x = double(test_x)/255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit SDAE and use it to initialize a FFNN% Setup and train a stacked denoising autoencoder (SDAE)rand('state',0)sae = saesetup([784 100]);sae.ae{1}.activation_function = 'sigm';sae.ae{1}.learningRate = 1;sae.ae{1}.inputZeroMaskedFraction = 0.5;opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;sae = saetrain(sae, train_x, opts);visualize(sae.ae{1}.W{1}(:,2:end)')% Use the SDAE to initialize a FFNNnn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm';nn.learningRate = 1;nn.W{1} = sae.ae{1}.W{1};% Train the FFNNopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.16, 'Too big error');```Example: Convolutional Neural Nets---------------------```matlabfunction test_example_CNNload mnist_uint8;train_x = double(reshape(train_x',28,28,60000))/255;test_x = double(reshape(test_x',28,28,10000))/255;train_y = double(train_y');test_y = double(test_y');%% ex1 Train a 6c-2s-12c-2s Convolutional neural network %will run 1 epoch in about 200 second and get around 11% error. %With 100 epochs you'll get around 1.2% errorrand('state',0)cnn.layers = { struct('type', 'i') %input layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 6, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %sub sampling layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 12, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %subsampling layer};cnn = cnnsetup(cnn, train_x, train_y);opts.alpha = 1;opts.batchsize = 50;opts.numepochs = 1;cnn = cnntrain(cnn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = cnntest(cnn, test_x, test_y);%plot mean squared errorfigure; plot(cnn.rL);assert(er<0.12, 'Too big error');```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, 'Too big error');%% ex2 neural net with L2 weight decayrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex3 neural net with dropoutrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")

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