图论与最短路径算法-优快云博客

「圖」與「道路地圖」

把一張圖想像成道路地圖，把圖上的點想像成地點，把圖上的邊想像成道路，把權重想像成道路的長度。若兩點之間以邊相連，表示兩個地點之間有一條道路，道路的長度是邊的權重。

有時候為了應付特殊情況，邊的權重可以是零或者負數，也不必真正照著圖上各點的地理位置來計算權重。別忘記「圖」是用來記錄關聯的東西，並不是真正的地圖。

Path

在圖上任取兩點，分別做為起點和終點，我們可以規劃出許多條由起點到終點的路線。這些路線可以經過其他點，也可以來來回回的繞圈子。一條路線，就是一條「路徑」。

如果起點到終點是不相通的，那麼就不會存在起點到終點的路徑。

路徑也有權重。把路徑上所有邊的權重，都加總起來，就是路徑的權重（通常只加總邊的權重，而不考慮點的權重）。路徑的權重，可以想像成路徑的總長度。

Simple Path

一條路徑，如果沒有重複地經過同樣的點，則稱做「簡單路徑」。

【註：一般情況下，當我們說「路徑」時，可以是指「簡單路徑」──這是因為「重覆地經過同樣的點的路徑」比較少用，而「簡單路徑」四個字又不如「路徑」兩個字來的簡潔。因此很多專有名詞便省略了「簡單」這兩個字，而直接使用「路徑」，但實際上是指「簡單路徑」。】

Longest Path

「最長路徑」。在一張權重圖上，兩點之間權重最大的簡單路徑。已被證明是 NP-Complete 問題。

Shortest Path

「最短路徑」，在一張權重圖上，兩點之間權重最小的路徑。最短路徑不見得是邊最少、點最少的路徑。

最短路徑也可能不存在。兩點之間不連通、不存在路徑的時候，也就不會有最短路徑了。

Relaxation

尋找兩點之間的最短路徑時，最直觀的方式莫過於：先找一條路徑，然後再找其他路徑，看看會不會更短，並記住最短的一條。

找更短的路徑並不困難。我們可以在一條路徑上找出捷徑，以縮短路徑；也可以另闢蹊徑，取代原本的路徑。如此找下去，必會找到最短路徑。

尋找捷徑、另闢蹊徑的過程，可以以數學方式來描述：現在要找尋起點為 s 、終點為 t 的最短路徑，而且現在已經有一條由 s 到 t 的路徑，這條路徑上會依序經過 a 及 b 這兩點（可以是起點和終點）。我們可以找到一條新的捷徑，起點是 a 、終點是 b 的捷徑，以這條捷徑取代原本由 a 到 b 的這一小段路徑，讓路徑變短。

找到捷徑以縮短原本路徑，便是 Relaxation 。

Negative Cycle

權重為負值的環。以下簡稱負環。

有一種情形會讓最短路徑成為無限短：如果一張圖上面有負環，那麼只要建立一條經過負環的捷徑，便會讓路徑縮短一些；只要不斷地建立經過負環的捷徑，反覆地繞行負環，那麼路徑就會可以無限的縮短下去，成為無限短。

大部分的最短路徑演算法都可以偵測出圖上是否有負環，不過有些卻不行。

無限長與無限短

當起點和終點之間不存在路徑的時候，也就不會有最短路徑了。這種情況有時候會被解讀成：從起點永遠走不到終點，所以最短路徑無限長。

當圖上有負環可做為捷徑的時候，這種情況則是：最短路徑無限短。

最短路徑都是簡單路徑

除了負環以外，如果一條路徑重複的經過同一條邊、同一個點，一定會讓路徑長度變長。由此可知：沒有負環的情況下，最短路徑都是簡單路徑，決不會經過同樣的點兩次，也決不會經過同樣的邊兩次。

Shortest Path Tree

當一張圖沒有負環時，在圖上選定一個點做為起點，由此起點到圖上各點的最短路徑們，會延展成一棵樹，稱作「最短路徑樹」。由於最短路徑不見得只有一條，以特定一點做為起點的最短路徑樹也不見得只有一種。

最短路徑樹上的每一條最短路徑，都是由其它的最短路徑延伸拓展而得（除了由起點到起點這一條最短路徑以外）。也就是說，最短路徑樹上的每一條最短路徑，都是以其他的最短路徑做為捷徑。

當兩點之間有多條邊

當兩點之間有多條邊，可以留下一條權重最小的邊。這麼做不影響最短路徑。

當兩點之間沒有邊

當兩點之間沒有邊（兩點不相鄰），可以補上一條權重無限大的邊。這麼做不影響最短路徑。

當圖的資料結構為 adjacency matrix 時，任兩點之間都一定要有一個權重值。要找最短路徑，不相鄰的兩點必須設定權重無限大，而不能使用零，以免計算錯誤；要找最長路徑，則是要設定權重無限小。

最短路徑演算法的功能類型

Point-to-Point Shortest Path ，點到點最短路徑：給定起點、終點，求出起點到終點的最短路徑。一對一。

Single Source Shortest Paths ，單源最短路徑：給定起點，求出起點到圖上每一點的最短路徑。一對全。

All Pairs Shortest Paths ，全點對最短路徑：求出圖上所有兩點之間的最短路徑。全對全。

最短路徑演算法的原理類型，有向圖

Label Setting ：逐步設定每個點的最短路徑長度值，一旦設定後就不再更改。

Label Correcting ：設定某個點的最短路徑長度值之後，之後仍可繼續修正其值，越修越美。整個過程就是不斷重新標記每個點的最短路徑長度值。

註： Label 是指在圖上的點（或邊）標記數值或符號。

最短路徑演算法的原理類型，無向圖

需精通「 Matching 」、「 Circuit 」、「 T-Join 」等進階概念，因此以下文章不討論！

一般來說，當無向圖沒有負邊，尚可套用有向圖的演算法。當無向圖有負邊，則必須使用「 T-Join 」。

最短路徑演算法的原理類型，混合圖

已被證明是 NP-Complete 問題。

用途

在一張有向圖上面選定一個起點後，此演算法可以求出此點到圖上各點的最短路徑，即是最短路徑樹。但是限制是：圖上每一條邊的權重皆非負數。

演算法

當圖上每一條邊的權重皆非負數時，可以發現：每一條最短路徑，都是邊數更少、權重更小（也可能相同）的最短路徑的延伸。

於是乎，建立最短路徑樹，可以從邊數較少的最短路徑開始建立，然後逐步延伸拓展。換句話說，就是從距離起點最近的點和邊開始找起，然後逐步延伸拓展。先找到的點和邊，保證會是最短路徑樹上的點和邊。

也可以想成是，從目前形成的最短路徑樹之外，屢次找一個離起點最近的點，（連帶著邊）加入到最短路徑樹之中，直到圖上所有點都被加入為止。

整個演算法的過程，可看作是兩個集合此消彼長。不在樹上、離根最近的點，移之。

循序漸進、保證最佳，這是 Greedy Method 的概念。

一點到多點的最短路徑、求出最短路徑樹

1. 將起點加入到最短路徑樹。此時最短路徑樹只有起點。
2. 重複下面這件事V-1次，將剩餘所有點加入到最短路徑樹。
　甲、尋找一個目前不在最短路徑樹上而且離起點最近的點b。
　乙、將b點加入到最短路徑樹。

這裡提供一個簡單的實作。運用 Memoization ，建立表格紀錄已求得的最短路徑長度，便容易求得不在樹上、離根最近的點。時間複雜度是 O(V^3) 。

令w[a][b]是a點到b點的距離（即是邊的權重）。
令d[a]是起點到a點的最短路徑長度，起點設為零，其他點都是空的。

1. 將起點加入到最短路徑樹。此時最短路徑樹只有起點。
2. 重複下面這件事V-1次，將剩餘所有點加入到最短路徑樹。
　甲、尋找一個目前不在最短路徑樹上而且離起點最近的點：
　　　以窮舉方式，
　　　找一個已在最短路徑樹上的點a，以及一個不在最短路徑樹上的點b，
　　　讓d[a]+w[a][b]最小。
　乙、將b點的最短路徑長度存入到d[b]之中。
　丙、將b點（連同邊ab）加入到最短路徑樹。

實作

一點到多點的最短路徑、找出最短路徑樹（adjacency matrix）

int w[9][9]; // 一張有權重的圖：adjacency matrix
int d[9]; // 紀錄起點到圖上各個點的最短路徑長度
int parent[9]; // 紀錄各個點在最短路徑樹上的父親是誰
bool visit[9]; // 紀錄各個點是不是已在最短路徑樹之中
void label_setting(int source)
{
for (int i=0; i<100; i++) visit[i] = false; // initialize
d[source] = 0; // 設定起點的最短路徑長度
parent[source] = source; // 設定起點是樹根（父親為自己）
visit[source] = true; // 將起點加入到最短路徑樹
for (int k=0; k<9-1; k++) // 將剩餘所有點加入到最短路徑樹
{
// 從既有的最短路徑樹，找出一條聯外而且是最短的邊
int a = -1, b = -1, min = 1e9;
// 找一個已在最短路徑樹上的點
for (int i=0; i<9; i++)
if (visit[i])
// 找一個不在最短路徑樹上的點
for (int j=0; j<9; j++)
if (!visit[j])
if (d[i] + w[i][j] < min)
{
a = i; // 記錄這一條邊
b = j;
min = d[i] + w[i][j];
}
// 起點有連通的最短路徑都已找完
if (a == -1 || b == -1) break;
// // 不連通即是最短路徑長度無限長
// if (min == 1e9) break;
d[b] = min; // 儲存由起點到b點的最短路徑長度
parent[b] = a; // b點是由a點延伸過去的
visit[b] = true; // 把b點加入到最短路徑樹之中
}
}

換個角度看事情

前面有提到 relaxtion 的概念。以捷徑的觀點來看，當下已求得的每一條最短路徑，都會作為捷徑，縮短所有由起點到圖上各點的路徑。每個步驟中所得到的最短路徑，由於比它更短的最短路徑全都嘗試做為捷徑過了，所以能夠確保是最短路徑。

Label Setting Algorithm 亦可看做是一種 Graph Traversal ，但與 BFS 和 DFS 不同的地方在於 Label Setting Algorithm 有考慮權重，遍歷順序是先拜訪離樹根最近的點和邊。

想法

找不在樹上、離根最近的點，先前的方式是：窮舉樹上 a 點及非樹上 b 點，找出最小的 d[a]+w[a][b] 。

以 w[a][b] 的角度來看，整個過程重覆窮舉了許多邊。

運用 Memoization ，隨時紀錄已經窮舉過的邊，避免重複窮舉，節省時間。

每當將一個 a 點加入最短路徑樹，就將 d[a]+w[a][b] 存入 d[b] 。找不在樹上、離根最近的點，就直接窮舉 d[] 表格，找出最小的 d[b] 。

演算法

令w[a][b]是a點到b點的距離（即是邊的權重）。
令d[a]是起點到a點的最短路徑長度，起點設為零，其他點都設為無限大。

1. 重複下面這件事V次，以將所有點加入到最短路徑樹。
　甲、尋找一個目前不在最短路徑樹上而且離起點最近的點：
　　　直接搜尋d[]陣列裡頭的數值，來判斷離起點最近的點。
　乙、將此點加入到最短路徑樹之中。
　丙、令剛剛加入的點為a點，
　　　以窮舉方式，找一個不在最短路徑樹上、且與a點相鄰的點b，
　　　把d[a]+w[a][b]存入到d[b]當中。
　　　因為要找最短路徑，所以儘可能紀錄越小的d[a]+w[a][b]。
　　　（即是邊ab進行relaxation）

時間複雜度

分為兩個部分討論。

甲、加入點、窮舉邊：每個點只加入一次，每條邊只窮舉一次，剛好等同於一次 Graph Traversal 的時間。

乙、尋找下一個點：從大小為 V 的陣列當中尋找最小值，為 O(V) ；總共尋找了 V 次，為 O(V^2) 。

甲乙相加就是整體的時間複雜度。圖的資料結構為 adjacency matrix 的話，便是 O(V^2) ；圖的資料結構為 adjacency lists 的話，還是 O(V^2) 。

實作

找出最短路徑樹（adjacency matrix）