luogu P2044 [NOI2012]随机数生成器 (矩阵快速幂 + 快速乘)

最新推荐文章于 2024-06-28 23:00:02 发布

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#矩阵快速幂 #快速乘

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本文介绍了一种使用线性同余法生成随机数序列的方法，详细解析了其数学原理与算法实现，包括矩阵快速幂技巧，适用于大规模数据处理。

题目描述

栋栋最近迷上了随机算法，而随机数是生成随机算法的基础。栋栋准备使用线性同余法（Linear Congruential Method）来生成一个随机数列，这种方法需要设置四个非负整数参数m,a,c,X[0],按照下面的公式生成出一系列随机数{Xn}：

                       X[n+1]=(aX[n]+c) mod m

其中mod m表示前面的数除以m的余数。从这个式子可以看出，这个序列的下一个数总是由上一个数生成的。

用这种方法生成的序列具有随机序列的性质，因此这种方法被广泛地使用，包括常用的C++和Pascal的产生随机数的库函数使用的也是这种方法。

栋栋知道这样产生的序列具有良好的随机性，不过心急的他仍然想尽快知道X[n]是多少。由于栋栋需要的随机数是0,1,...,g-1之间的，他需要将X[n]除以g取余得到他想要的数，即X[n] mod g，你只需要告诉栋栋他想要的数X[n] mod g是多少就可以了。

输入输出格式

输入格式：

输入包含6个用空格分割的整数m,a,c,X[0],n和g，其中a,c,X[0]是非负整数，m,n,g是正整数。

输出格式：

输出一个数，即X[n] mod g

输入输出样例

输入样例#1：

11 8 7 1 5 3

输出样例#1：

说明

计算得X[n]=X[5]=8,故(X[n] mod g) = (8 mod 3) = 2

100%的数据中n,m,a,c,X[0]<=10^18,g<=10^8

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2044

题目分析：X[n+1]=(aX[n]+c)%m，构造矩阵[a 0/1 1]，然后矩阵快速幂（数字很大，乘的时候要快速乘）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int const N = 2;

ll m, a, c, x0, n, g;

struct matrix {
    ll mat[N][N];
    matrix() {
        memset(mat, 0, sizeof(mat));
    }
};

ll qmul(ll a, ll b) {
    ll ans = 0;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            ans = (ans + a) % m;
        }
        a = (a << 1) % m;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

matrix mmul(matrix a, matrix b) {
    matrix ans;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            if (a.mat[i][j]) {
                for (int k = 0; k < N; k++) {
                    ans.mat[i][k] += qmul(a.mat[i][j], b.mat[j][k]) % m;
                    ans.mat[i][k] %= m;
                }
            }
        }
    }
    return ans;
}

matrix mqpow(matrix a, ll n) {
    matrix ans;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        ans.mat[i][i] = 1;
    }
    while (n) {
        if (n & 1) {
            ans = mmul(ans, a);
        }
        a = mmul(a, a);
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main() {
    scanf("%lld %lld %lld %lld %lld %lld", &m, &a, &c, &x0, &n, &g);
    matrix x;
    x.mat[0][0] = a; x.mat[0][1] = 0;
    x.mat[1][0] = 1; x.mat[1][1] = 1;
    x = mqpow(x, n);
    ll xn = (qmul(x0, x.mat[0][0]) + qmul(c, x.mat[1][0])) % m;
    printf("%lld\n", xn % g);
}