洛谷-5147 随机数生成器

题目描述
HKE最近编写了一个函数 $\text{rand}$，其中 l,r 为正整数且 l≤r。这个函数会等概率返回区间 [l,r] 中任意一个正整数。然后，他又编写了一个函数：
int work(int x){
if(x==1) return 0;
else return work(rand(1,x))+1;
}
现在给定一个正整数 n，请问 work(n) 的返回值的期望值是多少？
期望的定义：假设 work(n) 返回的所有可能的值为 $x_1,x_2,\dots ,x_k$，它们出现的概率分别为 $p_1,p_2,\dots ,p_k$，则期望为：
$$E=\sum _{i=1}^n{p}_i{x}_i$$

输入格式
一个正整数 n

输出格式
一个实数，表示 work(n) 的期望值。保留 5 位小数。

输入输出样例
输入 #1
2

输出 #1
2.00000

输入 #2
3

输出 #2
2.50000

输入 #3
100000

输出 #3
13.09014

说明/提示
对于 100% 的数据，1≤n<2³¹

解释：推公式额。
$$E(n)=\sum _{i=1}^n\frac{1}{n}E(i)+1$$
$$nE(n)=\sum _{i=1}^{n}E(i)+n$$另外
$$(n-1)E(n)=\sum _{i=1}^{n-1}E(i)+n-1$$
两式相减得
$$(n-1)(E(n)-E(n-1))=1$$
$$E(n)-E(n-1)=\frac{1}{n-1}=D(n)$$
$$E(n)=E(2)+\sum _{i=3}^{n-1}D(n)$$
$$=2+\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}$$
其中n=1和n=2要特判断
又当n足够大的时候，
$$\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}=\ln (n)+\gamma$$
$$\gamma =0.5772156649015328...$$
完成

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int limit = 19260817;
const double _gamma = 0.5772156649015328;
double ans=0;
int main(){
    int n=0;cin>>n;
    if(n==1) ans=0.0;
    else if(n==2) ans=2.0;
    else if(n<=limit){
        ans=2.0;
        for(int i=3;i<=n;i++) ans+=1.0/(i-1);
    }else{
        ans=log(n)+_gamma+1;
    }
    printf("%.5f\n",ans);
    return 0;
}