凸多边形多面体上线性函数的积分点与权重

凸多边形/多面体上线性函数平均值的分解(积分点和积分权重)

背景

在一般凸多边形或者多面体单元的二阶精度的有限体积格式，例如MUSCL，或者DG格式，需要在单元边界的中点上取数值通量，权重用于稳定性和保正性的证明。下面是给出一般凸多胞体（多边形或者多面体）的积分点和权重的推导。

结论

设在单元(控制体)$V_i$ 上守恒量$U$的平均值为$U_i$ ,在单元$V_i$ 上重构的线性函数为，
$$U(x)=U_i+\nabla U\cdot (\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_i)$$
其中${\mathbf{x}}_i$ 是控制体$V_i$ 的重心。控制点$x_{ij}$ 为控制体$V_i$ 的边界$S_{ij}$ 的重心，下标 $j\in N(i)$ ，$N(i)$ 表示单元$V_i$ 的邻居指标集合。控制点的权重$w_{ij}$ 满足，
$$\sum _{j\in N(i)}{w}_{ij}=1\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中权重
$$w_{ij}=\frac{({\mathbf{x}}_{ij}-{\mathbf{x}}_i)\cdot {\mathbf{n}}_{ij}|S_{ij}|}{D|V_i|}\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中，${\mathbf{n}}_{ij}$ 是边界$S_{ij}$ 指向单元外部的单位法向量，$|S_{ij}|$ 是边界$S_{ij}$ 的长度或者面积。在几何上$({\mathbf{x}}_{ij}-{\mathbf{x}}_i)\cdot {\mathbf{n}}_{ij}$ 表示重心$x_i$ 到$S_{ij}$ 所在直线或者平面上的距离。

线性函数$U(x)$ 的数值积分满足，
$$U_i=\sum _j{w}_{ij}{U}_{ij}\text{\hspace{1em}(3)}$$
其中，$U_{ij}=U({\mathbf{x}}_{ij})$ 。

证明

预备知识

Gauss-Green 定理

对于向量函数$\mathbf{F}\in {\mathbb{R}}^n$ ,在区域$\Omega$ 上，有Gauss-Green公式，
$${\int }_{\Omega }\nabla \cdot \mathbf{F}d\mathbf{x}={\int }_{\partial \Omega }\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS(\mathbf{x})\text{\hspace{1em}(4)}$$

Gauss-Green 变形公式

对于标量函数$u,v$ ，变形公式为
$${\int }_{\Omega }\nabla uvd\mathbf{x}=-{\int }_{\Omega }u\nabla vd\mathbf{x}+{\int }_{\partial \Omega }uv\mathbf{n}d\mathbf{x}\text{\hspace{1em}(5)}$$

证明结论(1)(2)

多胞体的重心公式满足
$${\mathbf{x}}_i=\frac{1}{|V_i|}{\int }_{V_i}\mathbf{x}dV\text{\hspace{1em}(6)}$$
控制体$V_i$的体积公式为
$$|V_i|={\int }_{V_i}1dV={\int }_{V_i}\frac{\nabla \cdot \mathbf{x}}{D}dV=\frac{1}{D}{\int }_{\partial V_i}\mathbf{x}\cdot \mathbf{n}dS=\frac{1}{D}\sum _j{\mathbf{x}}_{ij}\cdot {\mathbf{n}}_{ij}|S_{ij}|\text{\hspace{1em}(7)}$$
这里倒数第二个等号使用了Gauss-Green公式(4),导数第一个等号成立的是因为边界$S_{ij}$是线性函数，在边界上取重心点就可以求出在整个边界上的积分，后面在单元边界$\partial V_i$上离散时都会使用到，下面再赘述。

单元的重心${\mathbf{x}}_i$ 是一个常数，因而$\nabla \cdot {\mathbf{x}}_i=0$ , 再套用公式(7)可以得到
$$0={\int }_{V_i}0dV=\frac{1}{D}{\int }_{V_i}\nabla \cdot {\mathbf{x}}_{i}dV=\frac{1}{D}\sum _j{\mathbf{x}}_i\cdot {\mathbf{n}}_{ij}|S_{ij}|\text{\hspace{1em}(8)}$$
将公式(7)(8)作差得到
$$|V_i|=\frac{1}{D}\sum _j{\mathbf{x}}_{ij}\cdot {\mathbf{n}}_{ij}|S_{ij}|-\frac{1}{D}\sum _j{\mathbf{x}}_i\cdot {\mathbf{n}}_{ij}|S_{ij}|=\frac{1}{D}\sum _j({\mathbf{x}}_{ij}-{\mathbf{x}}_i)\cdot {\mathbf{n}}_{ij}|S_{ij}|$$
由此可以得到结论(1)(2).

证明结论(3)

对于标量函数$U$满足
$$U=\frac{1}{D}DU=\frac{1}{D}(\nabla \cdot \mathbf{x})U=\frac{1}{D}[\nabla \cdot (U\mathbf{x})-\mathbf{x}\cdot \nabla U]\text{\hspace{1em}(9)}$$
单元的平均值$U_i$ 的定义为
$$U_i=\frac{1}{|V_i|}{\int }_{V_i}UdV$$
代入公式(9)得到
$$U_i=\frac{1}{D|V_i|}{\int }_{V_i}[\nabla \cdot (U\mathbf{x})-\mathbf{x}\cdot \nabla U]dV=\frac{1}{D|V_i|}[{\int }_{V_i}\nabla \cdot (U\mathbf{x})dV-\nabla U\cdot {\int }_{V_i}\mathbf{x}dV]\text{\hspace{1em}(10)}$$
这里第二项$\nabla U$ 可以放在积分号之外是因为$\nabla U$ 是一个常数。因此对于梯度$\nabla U$同样有
$$\nabla U=\frac{1}{|V_i|}{\int }_{V_i}\nabla UdV=\frac{1}{V_i}{\int }_{\partial V_i}U\mathbf{n}dA=\frac{1}{|V_i|}\sum _j{U}_{ij}{\mathbf{n}}_{ij}|S_{ij}|\text{\hspace{1em}(11)}$$
这里第二个等号使用到了Gauss-Green公式的变形公式(5).

公式(10)的第一项应用Gauss-Green公式(4)，第二项代入重心公式(6),可以得到
$$U_i=\frac{1}{D|V_i|}\left[{\int }_{\partial V_i}U\mathbf{x}\cdot \mathbf{n}dS-\nabla U\cdot {\mathbf{x}}_i\right]$$
代入公式(11)可以得到
$$U_i=\frac{1}{D|V_i|}\left[{\int }_{\partial V_i}U\mathbf{x}\cdot \mathbf{n}dS-{\mathbf{x}}_i\cdot {\int }_{V_i}\nabla UdV\right]$$
离散之后得到
$$U_i=\frac{1}{D|V_i|}\left[\sum _j{U}_{ij}({\mathbf{x}}_{ij}\cdot {\mathbf{n}}_{ij})|S_{ij}|-{\mathbf{x}}_i\cdot \sum _j{U}_{ij}|S_{ij}|{\mathbf{n}}_{ij}\right]=\frac{1}{D|V_i|}\sum _j({\mathbf{x}}_{ij}-{\mathbf{x}}_i)\cdot {\mathbf{n}}_{ij}|S_{ij}|U_{ij}=\sum _j{w}_{ij}{U}_{ij}$$
得证结论$(3)$.