二维多边形和三维多面体的重心公式

二维多边形和三维多面体的重心公式

本文主要讨论的是如何快速求解二维多边形和三维多面体的重心。最终的结果分别在公式$(3)(6)$。

首先给出任意维几何体重心的公式，
$${\mathbf{x}}_c=\frac{1}{V}{\int }_V\mathbf{x}dV\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$\mathbf{x}$是几何体中点的坐标。

二维任意多边形

二维多边形重心的求解思路是将多边形分解为若干个三角形，以三角形的面积为权重，对子三角形重心求加权平均值获得多边形的重心。

三角形面积和重心公式

任意三角形$\Delta ijk$的重心公式为，
$${\mathbf{x}}_c^{ijk}=\frac{{\mathbf{x}}_i+{\mathbf{x}}_j+{\mathbf{x}}_k}{3}\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中，${\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j,{\mathbf{x}}_k$是三角形三个顶点的坐标。

面积公式可以使用秦九韶公式，或者
$$S=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1& x_i& y_i\\ 1& x_j& y_j\\ 1& x_k& y_k\end{array}\right|$$

二维任意多边形的面积和重心公式

对任意一个二维多边形假设其有$N$个顶点，也就是$N$条边，则固定一个顶点，向与其不相邻的顶点做连线，可以将多边形分解为$N-2$个三角形，

下图是一个例子，

将六边形分解为 $\Delta 123,\Delta 134,\Delta 145,\Delta 156$四个三角形。

任意$N$边形，分解为$N-2$个三角形之后，重心公式(1)为，
$${\mathbf{x}}_c=\frac{1}{V}{\int }_V\mathbf{x}dV=\frac{\sum _i^{N-2}{\int }_{V_i}\mathbf{x}dV}{\sum _i^{N-2}{V}_i}=\frac{\sum _i^{N-2}|V_i|{\mathbf{x}}_c^i}{\sum _i^{N-2}|V_i|}\text{\hspace{1em}(3)}$$
其中，${\mathbf{x}}_c^i$和$|V_i|$分别是三角形$\Delta 1,i+1,i+2$的重心和面积。

三维任意多面体

三维重心公式的推到需要散度定理(高斯-格林公式)，会对多面体的边界三维多边形分解为若干个三角形，并求他们的面积和重心。

三维多面体的体积公式

这里$\mathbf{x}=(x,y,z)$是点的坐标。

三维多面体的体积公式为，
$$V={\int }_{V}1dV=\frac{1}{3}{\int }_V\nabla \cdot \mathbf{x}dV=\frac{1}{3}{\int }_{\partial V}\mathbf{x}\cdot \mathbf{n}dS$$
其中，$\nabla \cdot \mathbf{x}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=1+1+1=3$,最后一个等式使用了散度定理(高斯-格林公式)，$\mathbf{n}$是单位外法向量。$\partial V$是包围多面体$V$的若干个多边形组成的。这些多边形可以按照第一节中的方式，分解为若干个三角形(假设分解为$N$个三角形)，因此多面体的体积是
$$V=\frac{1}{3}\sum _{i=1}^N{\mathbf{x}}_c^i\cdot {\mathbf{n}}_i|S_i|\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中，三角形重心的求解请见公式(2),$S_i$是第$i$个三角形的面积， ${\mathbf{n}}_i$ 是第$i$个三角形指向多面体外的单位法向量。

三维多面体的重心公式

引入关于$x$的标量函数$A$，并记$A_c$为
$$A_c=\frac{1}{V}{\int }_{V}AdV$$
显然有
$$A=\frac{1}{3}3A=\frac{1}{3}(\nabla \cdot \mathbf{x})A=\frac{1}{3}[\nabla \cdot (A\mathbf{x})-\mathbf{x}\cdot \nabla A]$$
因此，利用上面两个式子
$$A_{c}V={\int }_{V}AdV={\int }_V\frac{1}{3}[\nabla \cdot (A\mathbf{x})-\mathbf{x}\cdot \nabla A]dV=\frac{1}{3}{\int }_V\nabla \cdot (A\mathbf{x})dV-\frac{1}{3}{\int }_V\mathbf{x}\cdot \nabla AdV\text{\hspace{1em}(5)}$$
根据$A$的任意性，可以分别取$A$为$x,y,z$,这里$x,y,z$是向量$\mathbf{x}$的分量。
因此，$\mathbf{x}\cdot \nabla A$ 分别等于$x,y,z$因此 公式(5)可以分别写为
$$x_{c}V=\frac{1}{3}{\int }_V\nabla \cdot (x\mathbf{x})dV-\frac{1}{3}{\int }_{V}xdV=\frac{1}{3}{\int }_V\nabla \cdot (x\mathbf{x})dV-\frac{1}{3}{x}_{c}V$$

$$y_{c}V=\frac{1}{3}{\int }_V\nabla \cdot (y\mathbf{x})dV-\frac{1}{3}{\int }_{V}ydV=\frac{1}{3}{\int }_V\nabla \cdot (y\mathbf{x})dV-\frac{1}{3}{y}_{c}V$$

$$z_{c}V=\frac{1}{3}{\int }_V\nabla \cdot (z\mathbf{x})dV-\frac{1}{3}{\int }_{V}zdV=\frac{1}{3}{\int }_V\nabla \cdot (z\mathbf{x})dV-\frac{1}{3}{z}_{c}V$$

可以看到第一项和最后一项可以合并同类项，可以得到，
$$4x_{c}V={\int }_V\nabla \cdot (x\mathbf{x})dV={\int }_{S}x\mathbf{x}\cdot \mathbf{n}dS$$

$$4y_{c}V={\int }_V\nabla \cdot (y\mathbf{x})dV={\int }_{S}y\mathbf{x}\cdot \mathbf{n}dS$$

$$4z_{c}V={\int }_V\nabla \cdot (z\mathbf{x})dV={\int }_{S}z\mathbf{x}\cdot \mathbf{n}dS$$

上面式子中第二个等式是再应用一次散度定理(高斯-格林公式)。注意$x,y,z$是向量$\mathbf{x}$的分量，三个分量写成一个向量式为，
$$4{\mathbf{x}}_{c}V={\int }_S\mathbf{x}(\mathbf{x}\cdot \mathbf{n})dS=\sum _{i=1}^N{\int }_{S_i}\mathbf{x}(\mathbf{x}\cdot \mathbf{n})dS=\sum _{i=1}^N({\mathbf{x}}_c^i\cdot {\mathbf{n}}_i){\int }_{S_i}\mathbf{x}dS=\sum _{i=1}^N({\mathbf{x}}_c^i\cdot {\mathbf{n}}_i)|S_i|{\mathbf{x}}_c^i$$
这里$(\mathbf{x}\cdot \mathbf{n})$能够从积分式子中拿出来的原因是它在$S_i$上是一个常数，因此结合公式$(4)$我们就可以得到三维多面体重心坐标公式，
$${\mathbf{x}}_c=\frac{\sum _{i=1}^N({\mathbf{x}}_c^i\cdot {\mathbf{n}}_i)|S_i|{\mathbf{x}}_c^i}{4V}=\frac{3\sum _{i=1}^N({\mathbf{x}}_c^i\cdot {\mathbf{n}}_i)|S_i|{\mathbf{x}}_c^i}{4\sum _{i=1}^N{\mathbf{x}}_c^i\cdot {\mathbf{n}}_i|S_i|}\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中，${\mathbf{x}}_c^i$是将多面体$V$的边界$\partial V$分解为第$i$个三角形的重心，$|S_i|$是其面积，$n_i$是单位外法向量。

参考文献

Z.-J. Wang, Improved formulation for geometric properties of arbitrary polyhedra, AIAA J. 37 (10) (1999) 1326–1327.