动态规划 -- 完全背包

题目：

有 N 种物品和一个容量是 V的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000

0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

基本思考框架：

import com.sun.javafx.css.PseudoClassState;

import java.util.Scanner;

public class Main{

    public static final int N = 1010;
    public static int[][] f = new int[N][N];
    public static int[] v = new int[N], w = new int[N];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n, m;
        n = sc.nextInt(); m = sc.nextInt();
        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++){
            v[i] = sc.nextInt();
            w[i] = sc.nextInt();
        }

        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
            for (int j = 0 ; j <= m ; j ++) {
                for (int k = 0 ; k * v[i] <= j ; k ++)
                    f[i][j] = Math.max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]] + k*w[i]);
            }
        }
        System.out.println(f[n][m]);
    }

}

优化思路

我们列举一下更新次序的内部关系：

f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w ,  f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
f[i , j-v]= max(            f[i-1,j-v]   ,  f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-3*v]+2*w , .....)
由上两式，可得出如下递推关系： 
                        f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j]) 

有了上面的关系，那么其实k循环可以不要了，核心代码优化成这样：

for(int i = 1 ; i <=n ;i++)
for(int j = 0 ; j <=m ;j++)
{
    f[i][j] = f[i-1][j];
    if(j-v[i]>=0)
        f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}

这个代码和01背包的非优化写法很像啊!!!我们对比一下，下面是01背包的核心代码

for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
for(int j = 0 ; j <= m ; j ++)
{
    f[i][j] = f[i-1][j];
    if(j-v[i]>=0)
        f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}

两个代码其实只有一句不同（注意下标）

f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);//01背包

f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);//完全背包问题

因为和01背包代码很相像，我们很容易想到进一步优化。核心代码可以改成下面这样

 for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = v[i] ; j<=m ;j++)//注意了，这里的j是从小到大枚举，和01背包不一样
    {
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }

综上所述，完全背包的最终写法如下：

import com.sun.javafx.css.PseudoClassState;

import java.util.Scanner;

public class Main{

    public static final int N = 1010;
    public static int[][] f = new int[N][N];
    public static int[] v = new int[N], w = new int[N];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n, m;
        n = sc.nextInt(); m = sc.nextInt();
        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++){
            v[i] = sc.nextInt();
            w[i] = sc.nextInt();
        }

        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
            for (int j = v[i] ; j <= m ; j ++) {
                //f[j] = Math.max(f[j],f[j-v[i]] + w[i]);  这里c语言是这样写的  java需要转换一下
            }
        }
        System.out.println(f[m]);
    }

}

优化后的时间复杂度为 O ( n m ) O(nm)O(nm)。