[CF1034E]Little C Loves 3 III

最新推荐文章于 2022-04-24 20:33:42 发布

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本文详细介绍了如何利用快速傅里叶变换（FFT）解决位运算问题，特别是处理‘按位或’操作时的条件限制。通过转换条件并巧妙地调整数据，使得在模4运算下，仅保留满足特定条件的贡献，从而实现高效计算。最终，通过实例展示了算法的时间复杂度为O(nlogn)的源代码实现。

Little C Loves 3 III

题解

~~挺好的做法，想到了还是挺简单的。~~

首先这个形式我们是很容易想到卷积的，但由于有 $j ∣ k = i$ 与 $j\&k=0$ 两个条件不好直接卷积。
我们可以先考虑到将 $j\&k=0$ 这个条件转化一下，让我们在多项式乘法的过程中可以直接处理掉。
由于最后答案是要 $mod\,4$ 的，设 $bit_{x}$ 表示 $x$ 中一的个数，将 $a_{i}$ 变为 $a_{i}\cdot 4^{bit_{i}}$ ， $b_{i}$ 变成 $b_{i}\cdot 4^{bit_{i}}$ ，再做或卷积乘起来求出 $c_{i}$ 。
那么此时的 $c_{i}$ 也应该是 $c_{i}\cdot 4^{bit_{i}}$ 。但由于这是或卷积乘起来的，此处的 $c_{i}$ 包含的不止 $4^{bit_{i}}$ 。
我们观察一下，哪些不止 $4^{bit_{i}}$ 。很明显，有 $bit_{j|k}+bit_{j\&k}=bit_{j}+bit_{k}$ 。只有当 $j\&k=0$ 时，才有 $bit_{j|k}=bit_{j}+bit_{k}$ 。
所以，当我们将 $c_{i}$ 除去 $4^{bit_{i}}$ 后， $j\&k=0$ 的在 $c_{i}$ 中是实值，其它的都包含 $4$ 的幂。
此时，我们在模一个 $4$ ，就只有 $j\&k=0$ 的会产生贡献了。
所以，我们只需要改改后做一次FWT就可以了。

时间复杂度 $O\left(nlog\,n\right)$

源码

注意数组大小，开 $2^{22}$ 会MLE。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define MAXN (1<<21)+5
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef unsigned int uint;
typedef pair<int,int> pii;
const int INF=0x7f7f7f7f;
const double PI=acos(-1.0);
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
int lim,n,bit[MAXN],a[MAXN],b[MAXN];
inline void FWTor(LL *A,const int typ){
	for(int k=1;k<=lim;k<<=1)
		for(int i=0;i<lim;i+=(k<<1))
			for(int j=i;j<i+k;j++)
				if(j+k<lim)A[j+k]+=1ll*typ*A[j];
}
LL A[MAXN],B[MAXN];
signed main(){
	read(n);lim=(1<<n);for(int i=1;i<lim;i++)bit[i]=bit[i>>1]+(i&1);
	for(int i=0;i<lim;i++)scanf("%1d",&a[i]),A[i]=(1ll*a[i])<<bit[i]+bit[i];FWTor(A,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)scanf("%1d",&b[i]),B[i]=(1ll*b[i])<<bit[i]+bit[i];FWTor(B,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=A[i]*B[i];FWTor(A,-1);
	for(int i=0;i<lim;i++)printf("%lld",(A[i]>>bit[i]+bit[i])&3);
	return 0;
}