莫比乌斯反演学习笔记

   数学真是太难了，Orz JZP，Orz PoPoQQQ，Orz……

先介绍一个前置的东西。。

积性函数

对于定义在N+上的函数，若当时有，则是一个积性函数。特别地，如果在任何时候都成立，则是一个完全积性函数。

显然，积性函数的积也是积性函数。

   莫比乌斯函数：

   定义为

       显然，莫比乌斯函数是一个积性函数。

       性质：

      

       证明略。。翻数论书去。。

       莫比乌斯反演：设满足，则有；当，有，反之亦成立。。

       证明：

      

       第二步到第三遍就分配率考虑的系数来得到，第三步到第四步是因为只有当=1即=n时=1。

       莫比乌斯反演可以用来简化一些运算，比如表示的a，b对数，这要枚a，b两个量，不好计算。若有表示的a，b对数，根据乘法原理容易得到，而又有，所以可以用莫比乌斯反演得到，这样只要枚举n的倍数一个量就可以计算了。。

       大体上说，可以认为是仅包含性质n的计数，而F(n)是所有包含性质n的计数，所以也就是的和，它一般会比更易求得，那么可以用莫比乌斯反演将求的问题转化为求的问题，以此简化运算。

这只是我简单的理解、、（word的公式搬上来实在蛋疼