[NOIP2006]能量项链【动态规划】

【问题描述】

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10)(10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=10*2*3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

【输入文件】

输入文件energy.in的第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

【输出文件】

输出文件energy.out只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*10⁹），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

 

解题思路：看到环就想到断环为链了，，一题区间DP，，好像这是我学区间DP的时候做的第一题。。。和加分二叉树差不多，对于区间[i,j]，我们枚举k（i<=k<=j)为最后一次合并的地方，然后就可以找到规模更小的问题了。DP方程：f[i][j]=max(f[i][k]+f[k+1][j]+head[i]*tail[j]*tail[k])。

 

代码：

#include
#include
using namespace std;
int i,j,k,n,t,a[205],f[205][105]={0},maxx=0;
int main()
{scanf("%d",&n);
for (i=1;i<=n;i++)
{scanf("%d",&a[i]);
a[i+n]=a[i];
}
for (i=1;i<=n;i++)
{f[i][i+1]=a[i]*a[i+1]*a[i+2];
f[i+n][i+n+1]=f[i][i+1];
}
for (t=2;t<=n-1;t++)
 for (i=1;i<=2*n-1;i++)
 {j=i+t;
  if (j>2*n-1) break;
  for (k=i;k<=j-1;k++)
   if(f[i][k]+f[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1]>f[i][j])f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1];}
for (i=1;i<=n;i++)
 if (f[i][i+n-1]>maxx) maxx=f[i][i+n-1];
printf("%d",maxx);
}