HihoCoder1546集合计数-优快云博客

本文介绍了一种高效算法来解决特定条件下的集合数量计算问题，通过排序和动态规划减少时间复杂度，避免超时。利用预先计算好的表来优化计算过程，确保即使在大量数据输入的情况下也能快速得出结果。

这个题想了我超级久，最后还想错了，多亏有大佬指点才得以理清思路

首先是要求集合，并且题目也提示了没有相同元素，所以可以先排个序，这样我们就可以将这个排序后的数组当成是一个集合，然后去求满足

条件的小集合。所以排序可以帮我们获取最大值和最小值。

这时我们可以设两个变量表示数组的下标，一个是low，一个是high，因为获取小集合我们进行的操作就是从大集合中挑元素出去

由于N<=100000，所以N平方的做法是要超时的（我一开始就是超时）,但是打表是完全木有问题的，所以我们将表示i个元素有x

种集合的表打出来，i表示元素个数，即数组下标，x代表这么多个元素可以形成的集合的个数。

为什么可以打这样一个表呢，因为只要一个集合的最大值和最小值满足条件，那么去掉这个最大值后的子集也是满足条件的，他们中的元素有包含和不包含两种情况

所以每次都是乘2

这样我们就得到了一个映射关系，但刚才那个逻辑推过来是要超时的，比如2 4 5 8，2和8中间有两个元素，所以可以产生4种集合，然而这样你就还必须

求2，4，5和4，5，8所能产生的集合数，这样写下来是要用两层循环的，所以会超时。（我就是在这里卡了好久）

但是后来我发现，2 4 5 8的那两个使得计算超时的子集都包含4 5两个元素，所以我要设法使得一次计算可以去掉两边的元素

这时我发现2 4 5 8的子集的数量=2 4 5+4 5 8+4 5（这个式子只是用于理解，正确性估计是没有的hhh）

所以我可以得到 2 4 5 8的集合数等于F[2 8 之间的元素个数+1]-1，有了这个式子，复杂度就只有O（N）了

代码

多想想，草稿纸上多写几个，就会理解了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long num[100005];
long long   F[100005];
void f()
{
    F[0]=1;
    for(int i=1;i<100003;i++)
    {
        F[i]=F[i-1]*2;
        F[i]%=1000000007;
    }
}
int main()
{
    int N;
    f();
    long long K;
    while(~scanf("%d%lld",&N,&K))
    {
        long long ans=0;
        for(int i=1;i<=N;i++)
        {
            scanf("%lld",&num[i]);
            if(num[i]*2<=K)
                ans++;              //提前算掉这些一个点的集合个数，以后的集合就可以保证有两端了
        }
        sort(num+1,num+N+1);
        int low=1,high=N;
        while(low<=N)               //每次都要移动low和high，low
        {
            while(num[high]+num[low]>K&&high>=low)   //每次都滤掉那些数值过大（相对于现在的low来说）的元素
            {
                high--;
            }
            if(high>=low)       //然后就计算
            {
                ans+=F[high-low]-1;
                ans%=1000000007;
            }
            low++;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}