质数详解

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分类专栏： java 算法文章标签：算法 java 质数

于 2024-11-24 12:14:11 首次发布

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质数（Prime Number）是数学中一个基本概念。以下是对质数的详细解析，包括定义、性质、判断方法和应用。

1. 什么是质数？

定义

质数是一个 大于 1 的整数，只能被 1 和它本身整除。

非质数

1 不是质数：它只有一个因子，不符合质数定义。
合数：有超过两个因子的正整数。例如，4, 6, 8 是合数。

2. 质数的性质

基本性质

最小的质数是 2：
- $2$ 是唯一的偶质数，所有其他质数都是奇数。
除了 2 和 3，其他质数可表示为 $6 k + 1$ 或 $6 k - 1$ 的形式：
- 质数大于 3 时，可以证明它必然位于 6 的倍数的相邻位置上。
质数的分布：
- 质数在自然数中分布不均匀，随着数值增大，质数出现的频率逐渐减小（受“素数定理”控制）。

唯一性

唯一分解定理：
- 任意一个大于 1 的正整数，可以唯一分解为若干个质数的乘积。例如：
  - $2^2 \times 7$
  - $3^2 \times 5$

3. 如何判断一个数是否是质数？

基本思路

质数只有两个因子：1 和自身。
如果一个数能被小于它的其他数整除，它不是质数。

优化判断

从 2 开始检查：
- 如果一个数 $n$ 能被 $\dots, \sqrt{n}$ 整除，那么 $n$ 不是质数。
不用检查所有数：
- $n$ 的因子成对出现，较大的因子必然是小于等于 $\sqrt{n}$ 的数的倍数。

常见算法

方法 1：基本算法

逐个检查是否能被 2, 3, …, $n - 1$ 整除。

public boolean isPrime(int n) {
    if (n <= 1) return false; // 1 和小于 1 的数不是质数
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        if (n % i == 0) return false; // 找到因子
    }
    return true; // 是质数
}

时间复杂度： $O (n)$

方法 2：优化为根号法

只检查到 $\sqrt{n}$ ，减少计算量。

public boolean isPrime(int n) {
    if (n <= 1) return false;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) { // 只检查到 sqrt(n)
        if (n % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

时间复杂度： $O(\sqrt{n})$

方法 3：6 的倍数法

质数大于 3 时，必然在 $6 k + 1$ 或 $6 k - 1$ 的位置：

public boolean isPrime(int n) {
    if (n <= 1) return false;
    if (n <= 3) return true; // 2 和 3 是质数
    if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) return false; // 排除 2 和 3 的倍数
    for (int i = 5; i * i <= n; i += 6) { // 只检查 6k ± 1
        if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) return false;
    }
    return true;
}

时间复杂度： $O(\sqrt{n})$

批量判断质数：埃拉托色尼筛法

如果需要在一定范围内判断所有质数，可以用筛法，效率更高。

算法思想

从 $2$ 开始，将其所有倍数标记为非质数。
找到下一个未被标记的数（它是质数），并标记它的所有倍数。
重复步骤直到 $\sqrt{n}$ 。
未被标记的数都是质数。

代码实现

public List<Integer> sieveOfEratosthenes(int n) {
    boolean[] isPrime = new boolean[n + 1];
    Arrays.fill(isPrime, true);
    isPrime[0] = false;
    isPrime[1] = false; // 0 和 1 不是质数

    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (isPrime[i]) {
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
                isPrime[j] = false; // 标记 i 的倍数
            }
        }
    }

    List<Integer> primes = new ArrayList<>();
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (isPrime[i]) {
            primes.add(i); // 未被标记的数是质数
        }
    }
    return primes;
}