2023 CPC 广东省赛（B，D， F）

CCSU_梅子酒

已于 2023-11-04 22:34:49 修改

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分类专栏： XCPC 动态规划数据结构文章标签：算法动态规划

于 2023-11-02 19:35:18 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/TT6899911/article/details/134189389

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文章讲述了在广东省编程竞赛中，如何通过动态规划方法处理基站建设和区间划分问题，利用单调队列优化转移时间，以及在另一问题中应用贪心算法和线段树结构求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接：The 2023 Guangdong Provincial Collegiate Programming Contest

有中文题面，题意就省略了。

B Base Station Construction

思路

本题参考了官方题解。

注意观察题目数据 $n, m$ 的和都不超过 $5 e 5$ ，那么我们dp就可以从这两方面考虑，这里我们从站点而不从区间来入手。

定义dp方程： $f [i] :$ 前 $i$ 个站点，且第 $i$ 个站点必须建基站的最小花费。状态转移就是枚举上一个站点建在哪 $j$ ， $f[i] = \min_j^{i-1}f[j] +a[i]$ .

注意一个问题，有些转移是不合法的，当存在区间 $[l, r]$ 使得 $l > j, r < i$ .这样就有区间中没有站点，这是不合法的。 考虑对于每个 $i$ 找到 $p [i] :$ 最远的合法转移点，用优先队列求解，易知 $p [i]$ 一定是单调递增的，我们可以将区间按右端点排序，对于所有右端点小于当前点 $(r < i)$ 的区间存入优先队列大顶堆按左端点排序，这样每次从队首取元素判断当前最远点 $k$ 是否合法，如果不合法 $l > k$ ，就将 $k = l$ .

具体实现见代码：

struct seg{
    int l, r;
    bool operator <(const seg& A){
        if(r == A.r) return l < A.l; 
        return r < A.r;
    }
}s[N];
priority_queue<pair<int, int> > q;
sort(s + 1, s + 1 + m);
while(!q.empty()) q.pop();
for(int i = 1, j = 0, k = 0; i <= n; i ++){
    while(j <= m && s[j].r < i) q.push({s[j].l, s[j].r}), j ++;
    if(!q.empty() && q.top().first > k) k = q.top().first; // 队列中都是r < i 的，若是 l > k 说明两个站点之间没有包含到该区间，这是不合法的，之间让k跳到l
    p[i] = k;
}

值得一提的是，官方题解中是用双指针求解 $p [i]$ 的，时间更加优秀。

接下来的转移就很好想了，就是对于合法区间 $f[i] = \min_{j=p[i]}^{i-1}f[j] + a[i]$ . 求区间最小值，可以用线段树维护，单点修改区间查询，转移时间复杂度 $O (n l o g n)$ 。由于 $p [i]$ 是单调递增的，可以用单调队列优化转移时间复杂度 $O (n)$ 。这里采用单调队列的方法。

最后的最后可以建立一个虚拟点来方便直接输出 $a [n + 1] = 0$ .

代码

/*
n和m之和都小于5e5 所以可以从这两方面来考虑，枚举站点和枚举区间
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
const int N = 5e5 + 10;
const ll inf = 1e18;

struct seg{
    int l, r;
    bool operator <(const seg& A){
        if(r == A.r) return l < A.l; 
        return r < A.r;
    }
}s[N];

int a[N], n, m;

ll f[N], p[N]; // f:前i个站点 且第i个站点必须建立电站的最小花费（枚举上一个站点j求解） p:要求两个站点之间不能有完整的区间，pi = 最小的满足有要求的站点j
priority_queue<pair<int, int> > q;

ll que[N];
void solve(){
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];

    a[++ n] = 0; // 虚拟站点

    cin >> m;
    for(int i = 1; i <= m; i ++){
        cin >> s[i].l >> s[i].r;
    }
    
    sort(s + 1, s + 1 + m);

    while(!q.empty()) q.pop();
    for(int i = 1, j = 0, k = 0; i <= n; i ++){
        while(j <= m && s[j].r < i) q.push({s[j].l, s[j].r}), j ++;
        if(!q.empty() && q.top().first > k) k = q.top().first; // 队列中都是r < i 的，若是 l > k 说明两个站点之间没有包含到该区间，这是不合法的，之间让k跳到l
        p[i] = k;
    }

    int tot = 0, top = 0;
    f[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){ // 求的是合法区间中p[i] ~ i - 1的最小值，由于p[i]单调递增可以用单调队列维护
        while(top <= tot && que[top] < p[i]) top ++;
        f[i] = f[que[top]] + a[i];
        while(tot >= top && f[que[tot]] > f[i]) tot --;
        que[++ tot] = i;
    }

    for(int i = 1; i <= n; i ++) que[i] = 0;
    cout << f[n] << "\n";
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);

    int t;
    cin >> t;
    while(t --){
        solve();
    }
    return 0;
}

D New Houses

思路

容易知道，对于不喜欢一起住的人即 $a_i<b_i$ 的人，当迫不得已必须一起住的时候，价值就会减少 $b_i-a_i$ ，当出现这种情况的时候，肯定是选减少价值最少的去一起住，这是本题唯一的算法贪心点。

接下来我们就不用思考那么多边界问题，直接大力分类讨论！具体看代码，每行几乎都有详细注释。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
const int N = 1e6 + 10;

struct node{
    int a, b;
};

bool cmp(node &A, node &B){
    return A.b - A.a < B.b - B.a;
}
void solve(){
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<node> A, B;

    ll sumA = 0, sumB = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        if(a >= b) A.push_back({a, b}), sumA += a; // 按喜好区分，将价值求和
        else B.push_back({a, b}), sumB += b;
    }

    int sizA = A.size(), sizB = B.size();

    if(sizB == 0){ // 没有喜欢单独住的
        if(sizA == 1) cout << A[0].b << "\n"; // 如果只有一个人，必须单独住
        else cout << sumA << "\n"; // 直接输出全部一起住的价值
        return ;
    }

    sort(B.begin(), B.end(), cmp); // 按如果不能独自住，按损失的最少的排序

    if(sizA == 0){ // 全是喜欢独自住的
        if(m < sizB * 2 - 1){ // 不能全部单独住
            for(auto [a, b] : B){ // 枚举有多少是必须一起住的
                sumB -= (b - a); // 将一起住的减少的值减去
                m --;
                sizB --;
                if(m >= sizB * 2) break; // 满足剩下的人可以单独住结束
            }
        } 
        cout << sumB << "\n";
        return ;
    }

    if(sizA == 1){ // 只有一个喜欢一起住的
        ll ans = sumB;
        m --;
        if(m < sizB * 2){ // 剩下的人不能全部单独住
            ans += A[0].a; // 喜欢一起住的人就能加上价值
            for(auto [a, b] : B){
                ans -= (b - a);
                m --;
                sizB --;
                if(m >= sizB * 2) break;
            }
        }
        else{ // 剩下的人可以全部单独住，分情况讨论
            ans = max(sumB + A[0].b, sumB - (B[0].b - B[0].a) + A[0].a); // 全部单独住，或者有一对一起住
        }
        cout << ans << "\n";
        return ;
    }

    // sizA > 1 && sizB > 0

    // 喜欢一起住的肯定都一起住，剩下的位置让无法独自住，选减少价值最小的一起住
    ll ans = sumA + sumB;
    m -= sizA;
    if(m < sizB * 2){
        for(auto [a, b] : B){
            ans -= (b - a);
            m --;
            sizB --;
            if(m >= sizB * 2) break;
        }
    }
    cout << ans << "\n";
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);

    int t;
    cin >> t;
    while(t --){
        solve();
    }
    return 0;
}

F Traveling in Cells

大致题意：每个格子有颜色和价值（两者都有修改操作）每次给定颜色集合 $A$ 只能走集合内颜色的格子，问从 $x$ 点开始最多能收集到多少价值。

思路

对于这种维护东西很多很杂无从下手的问题我们开始逐步简化。

对于每一个询问我们要解决的主要问题是：从给定点 $x$ 出发最远能走到的边界 $[l, r]$ 是多少，解决这个问题后，只需要用一个线段树/树状数组就可以维护单点修改，区间求和输出答案了。

对于从 $x$ 开始最多能走多远，无疑是有单调性的，即如果往左边走我们不能走到 $l$ 点，那么 $1\sim l-1$ 肯定也不能走到，右边同理。既然有单调性我们就考虑二分。要二分就必须知道一个区间内颜色有多少个是属于集合 $A$ 的，注意每次给定颜色集合大小 $k$ ，保证 $\sum k_i \leq 1e^6$ ，所以我们可以对每个颜色分开查询，最后算总数是否等于我们二分出来的该区间长度即可。

到此为此问题被简化为询问一个区间内指定单一颜色的个数（带修），我们继续简化问题。如果问题保证所有点只有两种颜色我们是否能解决该问题？显然用线段树就能很方便解决，将颜色分为黑白 $0/1$ 维护每个区间的价值，区间之和就代表白色点的个数。
回到有多种颜色的问题，我们是否能对每一种颜色都建一棵线段树呢？对于颜色 $i$ 的线段树，颜色 $i$ 代表 $1$ ，其他颜色代表 $0$ . 关于 $n$ 棵线段树空间不够的问题我们可以动态开点，每次只新增一条链空间复杂度为 $O ((n + q) l o g n)$ .

时间复杂度：二分答案 + 线段树，上界取决于询问的集合总大小 $k$ ，所以为 $O((logn)^2 \sum k_i)$ .
到此为止问题已经在逐步简化下解决了具体见代码及注释。

代码

/*
对区间的价值用树状数组维护
对颜色用线段树维护，即对每种颜色建立一棵线段树，动态开点保证空间，对于颜色i, 区间[l, r].sum 表示的是区间中颜色i的数量
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
typedef vector<int> Vec;
const int N = 1e5 + 10, MAX = 1e5;

int n, q;

int v[N], c[N];

int T[N], tot; // T[i]:颜色为i的线段树的根
struct node{ 
    int ls, rs, sum;
}tr[N * 200];

void update(int& p, int loc, int k, int l = 1, int r = MAX){ // 对于该颜色更新点loc的价值+1
    if(!p) p = ++ tot;
    tr[p].sum += k;
    if(l == r) return ;
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(loc <= mid) update(tr[p].ls, loc, k, l, mid);
    else update(tr[p].rs, loc, k, mid + 1, r);
}

int query(int p, int ql, int qr, int l = 1, int r = MAX){ // 对于颜色i查询区间[ql, qr]该颜色的个数
    if(!p) return 0;
    if(ql <= l && r <= qr) return tr[p].sum;
    int mid = (l + r) >> 1, ans = 0;
    if(ql <= mid) ans += query(tr[p].ls, ql, qr, l, mid);
    if(qr > mid) ans += query(tr[p].rs, ql, qr, mid + 1, r);
    return ans; 
}

ll val[N]; // 树状数组维护单点修改和区间求和
int lowbit(int x){ return x & -x; }
void update(int r, int k){
    for(int i = r; i <= n; i += lowbit(i)) val[i] += k;
}
ll get_sum(int l, int r){
    ll ans = 0;
    for(int i = r; i; i -= lowbit(i)) ans += val[i];
    for(int i = l - 1; i; i -= lowbit(i)) ans -= val[i];
    return ans;
}

Vec ci; // 每次查询的颜色集合
bool check(int len, int l, int r){
    int sum = 0;
    for(auto x : ci){
        sum += query(T[x], l, r); // 对于所有集合中的颜色查询[l, r].sum
    }
    return sum == len;
}

void get_ans(){
    int x, k;
    cin >> x >> k;
    ci.clear();
    for(int i = 1, y; i <= k; i ++){
        cin >> y;
        ci.push_back(y);
    }
	
	sort(ci.begin(), ci.end());
	ci.erase(unique(ci.begin(), ci.end()), ci.end()); // 去重

    int l = 1, r = n;

    int Lr = x;
    while(l <= Lr){ // 二分找最远能到的左边界
        int mid = (l + Lr) >> 1;
        if(check(x - mid + 1, mid, x)) Lr = mid - 1;
        else l = mid + 1;
    }

    int Rl = x;
    while(Rl <= r){ // 二分找最远合法的右边界
        int mid = (Rl + r) >> 1;
        if(check(mid - x + 1, x, mid)) Rl = mid + 1;
        else r = mid - 1;
    }
    cout << get_sum(l, r) << "\n"; // 输出求和
}

void clear(){
	for(int i = 0; i <= tot; i ++) tr[i] = {0, 0, 0};
	for(int i = 1; i <= n; i ++) T[i] = val[i] = 0;
	tot = 0;
}
void solve(){
	cin >> n >> q;
	clear();
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        cin >> c[i];
        update(T[c[i]], i, 1);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        cin >> v[i];
        update(i, v[i]);
    }

    for(int i = 1; i <= q; i ++){
        int op, p, x;
        cin >> op;
        if(op == 1){ // 更改颜色
            cin >> p >> x;
            update(T[c[p]], p, -1);
            c[p] = x;
            update(T[c[p]], p, 1);
        }
        else if(op == 2){ // 更改价值
            cin >> p >> x;
            update(p, x - v[p]);
            v[p] = x;
        }
        else get_ans();
    }
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);

    int t;
    cin >> t;
    while(t --){
    	solve();
    }
    return 0;
}