数理统计复习笔记五——假设检验之显著性检验

一、基本概念

在统计中，我们把需要用样本去推断“正确”与否的命题称为一个假设。当然，假设是可以关于参数的，也可以是关于分布的。

通过样本对一个假设作出“对”或“不对”的具体判断规则就称为该假设的一个检验。检验的结果若“是”，则否定该命题，就称拒绝该假设，否则就称为接受原假设。这里的拒绝和接受原假设，只是在当前样本下作出的判断，并没有从逻辑或理论上“证明”该命题正确与否。

设有样本$X$，取值于样本空间$\mathcal{X}$，且知道样本来自某一个参数分布族 { F ( x , θ ) : θ ∈ Θ } \{F(x,\theta): \theta\in\Theta\} { F(x,θ):θ∈Θ}，其中$\Theta$为参数空间。设${\Theta }_0\subset \Theta$，且${\Theta }_0\ne \varnothing$，则命题$H_0:\theta \in {\Theta }_0$称为一个假设或零假设。如记${\Theta }_1=\Theta -{\Theta }_0$，则命题$H_1:\theta \in {\Theta }_1$称为$H_0$的备择假设。于是$$H_0:\theta \in {\Theta }_0\leftrightarrow H_1:\theta \in {\Theta }_1\text{\hspace{1em}(1)}$$
称为假设检验问题。

对于上述假设的检验就是指这样一个法则或策略：当有了具体的样本后，由该法则或策略就可决定是接受$H_0$还是拒绝$H_0$，即检验就等价于把样本空间$\mathcal{X}$划分成两个互不相交的部分$W$和$\overline{W}$，当样本属于$\overline{W}$时，接受$H_0$；否则拒绝$H_0$。于是，我们称$W$为该检验的拒绝域，而$\overline{W}$称为接受域

由于样本是随机的，所以我们有可能会做出错误的决策，即当$\theta \in {\Theta }_0$时，样本却落入了拒绝域$W$，于是采取了拒绝$H_0$的错误决策，称这样的错误为第一类错误；当$\theta \in {\Theta }_1$时，样本却落入了接受域$\overline{W}$，于是采取了接受$H_0$的错误决策，称这样的错误为第二类错误。具体可见下表：

决策	$H_0$为真	$H_1$为真
接受$H_0$	正确	第二类错误
拒绝$H_0$	第一类错误	正确

• 定义犯第一类错误的概率为 α = P { X ∈ W ∣ H 0 } \alpha=P\{\bm X\in W|H_0\} α=P{ X∈W∣H0​}
• 定义犯第二类错误的概率为 β = P { X ∈ W ‾ ∣ H 1 } \beta=P\{\bm X\in\overline W|H_1\} β=P{ X∈W∣H1​}
• 对于固定的样本容量，找不到一个检验方法，使得犯第一、二类错误的概率均达到最小

势函数：对于假设$(1)$的一个检验方法$\psi$，其拒绝域记作$W$，则称 β ψ ( θ ) = P θ { X ∈ W } , ∀ θ ∈ Θ (2) \beta_\psi(\theta)=P_\theta\{\bm X\in W\}, \forall\theta\in\Theta\tag2 βψ​(θ)=Pθ​{ X∈W},∀θ∈Θ(2)
为此检验的势函数。

所以当$\theta \in {\Theta }_0$时，此检验犯第一类错误的概率等于其势函数${\beta }_{\psi }(\theta )$；而当$\theta \in {\Theta }_1$时，检验犯第二类错误的概率等于$1-{\beta }_{\psi }(\theta )$

显著性水平：对于检验$\psi$和事先给定的$\alpha \in (0,1)$，如果它满足 P θ { X ∈ W } ≤ α , ∀ θ ∈ Θ 0 (3) P_\theta\{\bm X\in W\}\le\alpha, \forall \theta\in\Theta_0\tag3 Pθ​{ X∈W}≤α,∀θ∈Θ0​(3)
则称$\alpha$是检验$\psi$的显著性水平或水平，也称$\psi$为显著性水平$\alpha$的检验。即检验$\psi$犯第一类错误的概率不大于$\alpha$.

只控制一个检验犯第一类错误的概率时，称这样的检验为显著性检验。一般情况下，求取某假设的显著性检验的步骤如下：

1. 根据实际问题，建立统计假设$H_0\leftrightarrow H_1$
2. 选取一个合适的统计量$T(\mathbf{X})$，使当$H_0$成立时，$T$的分布已知，且与参数$\theta$无关（称此分布为统计量$T$的零分布）
3. 根据$H_0$及$H_1$的特点，确定拒绝域$W$的区间形式
4. 对于给定的显著性水平$\alpha$，确定拒绝域$W$
5. 由样本观测值$\mathbf{x}$，计算统计量$T(\mathbf{X})$的值$T(\mathbf{x})$，由$T(\mathbf{x})$是否属于$W$，作出最终判断。

二、单样本正态总体参数的显著性检验

在本节中，始终假设$X_1,\cdots ,X_n$为来自正态总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$的$IID$样本，且我们感兴趣的是关于$\mu$和${\sigma }^2$的检验问题。

2.1 单样本正态总体均值的检验

方差	假设	检验统计量	拒绝域	名字
${\sigma }^2={\sigma }_0^2$已知	$H_0:\mu ={\mu }_0\leftrightarrow H_1:\mu \ne {\mu }_0$	$U=\sqrt{n}(\overline{X}-{\mu }_0)/{\sigma }_0$	{ ∣ U ∣ > u α / 2 } \{\mid U\mid\gt u_{\alpha/2}\} { ∣U∣>uα/2​}	双侧$u$检验
${\sigma }^2={\sigma }_0^2$已知	$H_0:\mu ={\mu }_0\leftrightarrow H_1:\mu <{\mu }_0$	$U=\sqrt{n}(\overline{X}-{\mu }_0)/{\sigma }_0$	{ U < − u α } \{U\lt -u_{\alpha}\} { U<−uα​}	单侧$u$检验
${\sigma }^2={\sigma }_0^2$已知	$H_0:\mu ={\mu }_0\leftrightarrow H_1:\mu >{\mu }_0$	$U=\sqrt{n}(\overline{X}-{\mu }_0)/{\sigma }_0$	{ U > u α } \{U\gt u_{\alpha}\} { U>uα​}	单侧$u$检验
${\sigma }^2={\sigma }_0^2$已知	$H_0:\mu \le {\mu }_0\leftrightarrow H_1:\mu >{\mu }_0$	$U=\sqrt{n}(\overline{X}-{\mu }_0)/{\sigma }_0$	{ U > u α } \{U\gt u_{\alpha}\} { U>uα​}	单侧$u$检验
${\sigma }^2={\sigma }_0^2$已知	$H_0:\mu \ge {\mu }_0\leftrightarrow H_1:\mu <{\mu }_0$	$U=\sqrt{n}(\overline{X}-{\mu }_0)/{\sigma }_0$	{ U < − u α } \{U\lt -u_{\alpha}\} { U<−uα​}	单侧$u$检验
${\sigma }^2$未知	$H_0:\mu ={\mu }_0\leftrightarrow H_1:\mu \ne {\mu }_0$	$T=\sqrt{n}(\overline{X}-{\mu }_0)/S_n$	{ ∣ T ∣ > t α / 2 ( n − 1 ) } \{\mid T\mid\gt t_{\alpha/2}(n-1)\} { ∣T∣>tα/2​(n−1)}	双侧$t$检验
${\sigma }^2$未知	$H_0:\mu ={\mu }_0\leftrightarrow H_1:\mu <{\mu }_0$	$T=\sqrt{n}(\overline{X}-{\mu }_0)/S_n$	{ T < − t α ( n − 1 ) } \{T\lt -t_{\alpha}(n-1)\} { T<−tα​(n−1)}	单侧$t$检验
${\sigma }^2$未知	$H_0:\mu ={\mu }_0\leftrightarrow H_1:\mu >{\mu }_0$	$T=\sqrt{n}(\overline{X}-{\mu }_0)/S_n$	{ T > t α ( n − 1 ) } \{T\gt t_{\alpha}(n-1)\} { T>tα​(n−1)}	单侧$t$检验
${\sigma }^2$未知	$H_0:\mu \le {\mu }_0\leftrightarrow H_1:\mu >{\mu }_0$	$T=\sqrt{n}(\overline{X}-{\mu }_0)/S_n$	{ T > t α ( n − 1 ) } \{T\gt t_{\alpha}(n-1)\} { T>tα​(n−1)}	单侧$t$检验
${\sigma }^2$未知	$H_0:\mu \ge {\mu }_0\leftrightarrow H_1:\mu <{\mu }_0$	$T=\sqrt{n}(\overline{X}$