HDU-2139 Calculate the formula

最新推荐文章于 2019-05-05 12:09:59 发布

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本文详细介绍了如何解决HDU-2139问题，通过数学归纳法推导出计算奇数平方和的通式，并提供了一段简洁高效的C++代码实现。

HDU-2139 Calculate the formula

HDU-2139 Calculate the formula

题目描述

You just need to calculate the sum of the formula: 1^2+3^2+5^2+……+ n ^2.

Input

In each case, there is an odd positive integer n.

Output

Print the sum. Make sure the sum will not exceed 2^31-1

Sample Input
3

Sample Output
10

思路

我绝对不会说最后就算找到公式，还是TLE；
记住，这一道题目的输入很大，不要用cin & cout!!!;

一开始就想到模拟做肯定白搭，所以用到了数学归纳法求解通式；

先给出求前n项平方和的证明(经典解法)：

    设S=1^2+2^2+.+n^2
    已知(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1
    n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1
    ...
    ...
    ...
    2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1
    把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+.+n] +n
    所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n*(n+1)] = (1/6)*n*(n+1)*(2n+1)
    即 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6；

    我们把每一项都乘上2，那么上式就变为：2^2+4^2+6^2+...+(2n)^2=4*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=4*n*(n+1)*(2n+1)/6；

    即前2n项中偶数的平方和，

    由第一个式子，我们又可以知道前(2n+1)项数的平方和为：1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2+...+(2n+1)^2=(2n+1)*(2n+1+1)*(4n+2+1)/6；

    那么用第三个式子减去第二个式子，便得到了前2n+1个数中奇数的平方和，即前n个奇数的平方和：

    1^2+3^2+5^2+...+(2n+1)^2=(n+1)*(2n+1)*(2n+3)/3，

    所以就得到了前n个数中奇数的平方和公式：n*(n+1)*(n+2)/6.

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;

int main()
{
    long long n;
    while(~scanf("%lld",&n))
    {
        printf("%lld\n",n*(n+1)*(n+2) / 6);
    }
    return 0;
}