数模2：优劣解距离法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）

Tokirin.

已于 2023-08-16 18:14:31 修改

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文章标签：算法其他

于 2023-08-16 18:08:32 首次发布

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1.简介

TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

该方法弥补了层次分析法（AHP）的两个局限：1.评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，通常为小于10；2.决策层中指标的数据是已知的，如何高效利用数据。

2.模型

（1）本质

利用已有指标数据，正向标准化，消除量纲影响。在所有的方案中，重新 $\hat x=max-x$ 评级得到最优和最劣方案。

（2）步骤

STEP1:正向化指标

由于指标存在以下两种情况：1.极大型指标：即该指标下数据越大，方案决策得分越高；2.极小型指标：即该即该指标下数据越小，方案决策得分越高；3.中间型指标：指标值既不要太大也不要太小，取某特定值最好（如水质量评估 PH 值）;4.区间型指标：指标值落在某个区间内最好，例如人的体温在36°～37°这个区间比较好。为了统一数据，消除指标的量纲影响，首先我们正向化指标，即指标全部转换为极大型。

常见的极小型指标转换为极大型指标函数：

$\hat x = x_{\rm max}-x$

可根据不同数据特征选择别的函数（数据全为正，可选择 $\hat x = \frac{1}{x}$ ）。

中间型指标转换为极大型指标函数：

$M=\max\{|x_i-x_{\rm best}|\},\quad\tilde{x}_i=1-\frac{|x_i-x_{\rm {best}}|}M$

区间型指标转换为极大型指标函数：

$M=\max\{a-\min\{x_i\},\max\{x_i\}-b\},\tilde{x_i}=\begin{cases}1-\frac{a-x_i}M,&x_i<a\\1,&a\leq x_i\leq b\\1-\frac{x_i-b}M,&x_i>b\end{cases}$

注：正向化的公式不唯一，大家也可以结合自己的数据进行适当的修改。

STEP2:矩阵标准化

对于n阶方阵，利用下面公式正向化，得到标准化矩阵Z：

$z_{ij}=x_{ij}\bigg/\sqrt{\sum_{i=1}^nx_{ij}^2}$

注意：标准化的方法有很多种，其主要目的就是去除量纲的影响，存在其他标准化方法，如： $z_{ij}=\frac{x_{ij}-\bar x_{ij}}{\sigma^2}$ ；视情况而定。

STEP3:计算得分并归一化

假设n个对象，m个评价指标，其标准矩阵为：

$Z=\left[\begin{array}{cccc}z_{11}&z_{12}&\cdots&z_{1m}\\\\z_{21}&z_{22}&\cdots&z_{2m}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\\z_{n1}&z_{n2}&\cdots&z_{nm}\end{array}\right]$

求的每个指标的最大最小值：

$\begin{aligned}Z^+&=(Z_1^+,Z_2^+,\cdots,Z_m^+)\\&=(\max\{z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\},\max\{z_{12},z_{22},\cdots,z_{n2}\},\cdots,\max\{z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\})\end{aligned}$

$\begin{aligned}Z^-&=(Z_1^-,Z_2^-,\cdots,Z_m^-)\\&=(\min\{z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1}\},\min\{z_{12},z_{22},\cdots,z_{n2}\},\cdots,\min\{z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm}\})\end{aligned}$

定义第i个对象与最大最小值的距离：

$D_{i}^{+}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}\omega_j(Z_{j}^{+}-z_{ij})^{2}} ,\quad D_{i}^{-}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}\omega_j(Z_{j}^{-}-z_{ij})^{2}}$

其中 $\omega_j$ 为第j个指标的权重

得到第i个对象未归一化的得分：

$S_i=\frac{D_i^-}{D_i^++D_i^-}$

显然 $0\leq S_{i}\leq1$ ，且 $S_{i}$ 越大，对象排名越高。

得分归一化：

$\widetilde{S}_i=S_i/\sum_{i=1}^nS_i,\quad \sum_{i=1}^{n}\widetilde{S}_{i}=1$

注：归一化不会影响实际的排名结果。

3.代码

clear;clc

%% STEP1: LOAD DATA
load data.mat

%% STEP2:POSITIVIZATION
[n,m] = size(X);
disp([num2str(n), ' object, ', num2str(m), ' target']) 
flag_pos = input(['1:POSTIVATION,  0:NO \n']);

if flag_pos == 1
    index = input('index of colum needed to porcess,s.t.2,3,6colums,input[2,3,6]: \n');

    Type = input('INPUT TYPE(1:MINIMAL, 2:MIDDLE, 3:INTERVAL) \n');
    X_pos = zeros(n, m);
    for i = 1 : size(index,2)
        X_pos(:,index(i)) = Positivization(X(:,index(i)),Type(i),index(i));
    end

end

%% STEP3: NORMAALIZATION
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
% disp('Normalized matrix Z = \n');
% disp(Z)

%% STEP4: COMPUTE DISTENCE AND SCORE
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D+
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D-
S = D_N ./ (D_P+D_N);    % unnormalized score
% disp('SCORE: \n')
stand_S = S / sum(S);
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend') ;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%MAIN_FUNCTION%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%INPUT :data:kind of colum;  i:index that data needed to process
%OUTPUT:data:kind of colum

function [data_posit] = Positivization(x, type, i)
    if type == 1  %MINIMAL
        % disp([num2str(i), 'colunm is minimal, PROCESSING'] );
        data_posit = Min2Max(x);  %调用Min2Max函数来正向化
        % disp([num2str(i), 'colunm is minimal, COMPLETED'] );
    elseif type == 2  %MIDDLE
        % disp([num2str(i), 'colunm is middle, PROCESSING'] );
        best = input('INPUT BEST VALUE:\n');
        data_posit = Mid2Max(x, best);
        % disp([num2str(i), 'colunm is middle, COMPLETED'] );
    elseif type == 3  %INTERVAL
        % disp([num2str(i), 'colunm is interval, PROCESSING'] );
        a = input('INPUT UPPER BOUND:\n');
        b = input('INPUT LOWER BOUND: \n'); 
        data_posit = Inter2Max(x, a, b);
        % disp([num2str(i), 'colunm is interval, COMPLETED'] );
    else
        disp(num2str(i), 'ERROR!!!\n');
    end
end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%MAIN_FUNCTION%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%SUB_FUNCTION%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% MINIMAL SIZE TO MAXIMAL SIZE
function [x_pos] = Min2Max(x)
    x_pos = max(x) - x;
    % x_pos = 1 ./ x;
end

%% INTERVAL SIZE TO MAXIMAL SIZE
function [x_pos] = Inter2Max(x, a, b)
    row = size(x, 1);
    M = max([a-min(x),max(x)-b]);
    x_pos = zeros(row, 1);
    for i = 1: row
        if x(i) < a
           x_pos(i) = 1-(a-x(i))/M;
        elseif x(i) > b
           x_pos(i) = 1-(x(i)-b)/M;
        else
           x_pos(i) = 1;
        end
    end
end

%% MIDDLE SIZE TO MAXIMAL SIZE
function [x_pos] = Mid2Max(x, best)
    M = max(abs(x-best));
    x_pos = 1 - abs(x-best) / M;
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%SUB_FUNCTION%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%