坐标轴变换与坐标变换

坐标轴变换与坐标变换

主要结论

• 新坐标轴向量组成的矩阵即为对象变换矩阵
• 变换矩阵可以转换为新坐标轴的向量
• 坐标轴不正交时，点的横纵方向分量也都是与坐标轴平行的
• 错切不能替代旋转

矩阵与自己的逆矩阵互逆

假设B为A的逆矩阵，则

$$A\cdot B=E$$

$$A\cdot B\cdot A=E\cdot A=A$$

$$A\cdot (B\cdot A)=A$$

$$B\cdot A=E$$

线性变换Linear Transformation

就是满足分配律的变换，目前遇到的有乘法，矩阵的乘法.

$$A=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right]$$

$$B=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right]$$

$$M=\left[\begin{array}{cc}{a}_{1}1& a_{1}2\\ a_{2}1& a_{2}2\end{array}\right]$$

$$M\ast (A+B)=\left[\begin{array}{c}{a}_{1}1(x_1+x_2)+a_{1}2(y_1+y_2)\\ a_{2}1(x_1+x_2)+a_{2}2(y_1+y_2)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_{1}1x_1+a_{1}1x_2+a_{1}2y_1+a_{1}2y_2\\ a_{2}1x_1+a_{2}1x_2+a_{2}2y_1+a_{2}2y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_{1}1x_1+a_{1}2y_1\\ a_{2}1x_1+a_{2}2y_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{a}_{1}1x_2+a_{1}2y_2\\ a_{2}1x_2+a_{2}2y_2\end{array}\right]=M\ast A+M\ast B$$

$$M\ast (A+B)=M\ast A+M\ast B$$

几何意义是，向量单个变换后相加，与相加后变换，结果是一样的。
并由此可见，除平移这种需要借助多一维的变换，其它能以向量维度相同矩阵实现的变换，都是线性变换：包括伸缩，旋转，错切，反射。

坐标系变换

以二维为例
原来的坐标轴为$\vec{X},\vec{X}$

新的坐标轴为$\vec{U},\vec{V}$
经XY坐标系中表示为

$$\vec{U}=\left[\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\vec{X}\\ \vec{Y}\end{array}\right]\vec{V}=\left[\begin{array}{cc}c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\vec{X}\\ \vec{Y}\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{c}\vec{U}\\ \vec{V}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\vec{X}\\ \vec{Y}\end{array}\right]=M\left[\begin{array}{c}\vec{X}\\ \vec{Y}\end{array}\right]$$

$$M=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$

UV坐标系上的点$P(u,v)$，使用$\vec{X}\vec{Y}$表示为:

$$P=\left[\begin{array}{cc}u& v\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\vec{U}\\ \vec{V}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}u& v\end{array}\right]M[\begin{array}{c}\vec{X}\\ \end{array}$$