poj 1182 食物链 - 并查集

//	poj 1182 食物链-并查集
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//	这题我重新看了一下,以前一直不已为意,觉得理解就差不多了
//	现在发现,理解了,也不一定能够敲出来,哎,果然太久没做题了
//	都生疏了,这道题,将每个生物分成3类,A,B,C.
//	对于第一种操作,只要在合并之前检查一下是否合法,合法,则将
//	该种生物的三类都合并
//	对于第二种操作,同样,合并A与B,B与C,C与A


//      教训:就是当单组输入的时候,不要加上EOF了,我就是这样wrong到
//      怀疑人生,差点儿最后将书,撕下来了,以后,一定按照标准的格式
//      输入!!!切记!!!!
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAX_N = 150110 ;

int N, K;

int fa[MAX_N];
int rk[MAX_N];
void init() {
	for (int i = 1; i <= 3 * N; i ++) {
		fa[i] = i;
		rk[i] = 1;
	}
}

int find_fa(int x) {
	if (x == fa[x])
		return x;
	return fa[x] = find_fa(fa[x]);
}

void unite(int x, int y) {
	int u = find_fa(x);
	int v = find_fa(y);
	if (u == v)
		return ;

	if (rk[u] < rk[v]) {
		fa[u] = v;
	} else {
		fa[v] = u;
		if (rk[u] == rk[v])
			rk[u] ++;
	}
}

bool isOk(int x) {
	if (x > 0 &&  x <= N)
		return true;
	return false;
}

bool same(int x, int y) {
	int u = find_fa(x);
	int v = find_fa(y);
	return u == v;
}

void input() {

	int cnt = 0;
	for (int i = 1; i <= K; i ++) {
		int d, x, y;
		scanf("%d%d%d", &d, &x, &y);

		if ( x <= 0 || x > N || y <= 0 || y > N) {
			cnt++;
			continue;
		}

		if (d == 1) {
			// 为何只需要检查两种,因为每次我们都是三个一起合并,挑出其中一种情况的两个,足矣
			if (same(x, y + N) || same(x, y + 2 * N)) {
				cnt++;
			}
			else {
				unite(x, y);
				unite(x + N, y + N);
				unite(x + 2 * N, y + 2 * N);
			}
		}
		else {
			// 同上,只需要判断x和y是不是同一物种或者,是否反食物链
			if (same(x , y) || same(x, y + 2 * N)) {
				cnt++;
			}
			else {
				unite(x, y + N);
				unite(x + N, y + 2 * N);
				unite(x + 2 * N, y);
			}
		}
	}
	printf("%d\n", cnt);
}

int main() {
	//freopen("1.in", "r", stdin);
	scanf("%d%d", &N, &K);
		init();
		input();
	return 0;
}

### 并查集算法的时间复杂度分析 并查集是一种高效的用于处理集合合并与查询的算法。在POJ 1182 食物链问题中,使用了并查集来判断动物之间的关系,并且通过路径压缩和按秩合并等优化手段,可以极大地提高算法的效率。 #### 路径压缩的影响 路径压缩是并查集中一种重要的优化技术,它能够将查找过程中经过的所有节点直接连接到根节点上。这种操作使得后续查找的时间复杂度接近于常数[^1]。具体来说,路径压缩后的查找操作时间复杂度可以用阿克曼函数的反函数 \( \alpha(n) \) 来表示,其中 \( n \) 是集合中的元素个数。阿克曼函数的增长速度极慢,因此 \( \alpha(n) \) 在实际应用中几乎可以视为常数。 ```python def Find(x): if x != par[x]: par[x] = Find(par[x]) # 路径压缩 return par[x] ``` #### 按秩合并的作用 按秩合并是一种优化策略,它通过将较小的树合并到较大的树上来减少树的高度。这种方法结合路径压缩后,可以进一步降低操作的时间复杂度[^2]。在实际实现中,可以通过维护一个数组 `rank` 来记录每个集合的深度,并在合并时选择深度较小的树挂接到深度较大的树上。 ```python def Union(x, y): rootX = Find(x) rootY = Find(y) if rootX != rootY: if rank[rootX] > rank[rootY]: par[rootY] = rootX elif rank[rootX] < rank[rootY]: par[rootX] = rootY else: par[rootY] = rootX rank[rootX] += 1 ``` #### 时间复杂度总结 对于 POJ 1182 食物链问题,假设总共有 \( n \) 个动物和 \( m \) 条关系,则初始化并查集的时间复杂度为 \( O(n) \),每次查找或合并操作的时间复杂度为 \( O(\alpha(n)) \)[^2]。由于 \( \alpha(n) \) 的增长极其缓慢,在实际情况下可以认为其为常数。因此,整个算法的时间复杂度主要由关系数量 \( m \) 决定,最终的时间复杂度为 \( O(m \cdot \alpha(n)) \)[^1]。 ### 代码示例 以下是一个完整的并查集实现,适用于 POJ 1182 食物链问题: ```python class UnionFind: def __init__(self, n): self.par = list(range(3 * n)) self.rank = [0] * (3 * n) def Find(self, x): if self.par[x] != x: self.par[x] = self.Find(self.par[x]) return self.par[x] def Union(self, x, y): rootX = self.Find(x) rootY = self.Find(y) if rootX != rootY: if self.rank[rootX] > self.rank[rootY]: self.par[rootY] = rootX elif self.rank[rootX] < self.rank[rootY]: self.par[rootX] = rootY else: self.par[rootY] = rootX self.rank[rootX] += 1 def Same(self, x, y): return self.Find(x) == self.Find(y) ```
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