(贪心法)

*贪心法的概念：（记忆）

贪心法是一种多步求解的方法
每步按照局部优化的策略选择解（元组）的一个分量
算法以第n步结束时构造出的解（元组）作为问题的解
这种局部优化的策略又称为“贪心标准”

注意：优化策略一般要选简单的
不回溯，一旦一个分量选定，不可尝试其他可能
贪心法常用于求解优化问题：
应用：

（1）货箱装船问题
（2）背包问题
（3）拓扑排序问题
（4）哈弗曼编码问题
（5）最短路径问题
（6）最小代价生成树
（7）偶图覆盖问题

优化问题可描述如下：

问题的解：元组形式
约束条件
目标函数
优化解：是目标函数极大或极小的可行解，对应的目标函数值称为优化值

很多优化问题是NP-难度问题，计算上可行的方法是求其近似解，贪心法是求近似解的主要途径
贪心法主要是为了减小开销，不一定得到精确的优化解

货箱装船问题：
题目描述：船的载重量有限，将n个集装箱
（重量wi,1<=i<=n）装在船上，使装入的数量最多。
问题的解：（x1,x2,……，xn）xi=0,1 0代表不装，1代表装
一共有2^n种状态（不考虑是否能装下）
暴力搜索2^n次，也可以找到解（复杂度2 ^n）
约束条件：∑(i=1,n)wixi<=c
目标函数：∑(i=1,n)xi
贪心法：优先选轻的
先排序：（复杂度）nlogn
从轻往重的装：（线性复杂度）Θ（n）
货箱装船问题的贪心解是最优解的证明：

设货箱装船问题的最优解是（y1，…yn）
如最优解不含箱子1，用箱子1替换最优解中的某一个箱子得到一个新的解

 - 替换是必须的：因为如果箱子1还能装入船中，则（y1，…，yn）不是最优解
 - 因为箱子1是最轻的，所以替换后的解仍是可行的
 - 替换后的解装入的箱子数等于最优的装箱数，所以它仍是最优解
 - 替换后新的最优解和贪心解都包含箱子1
反复替换将得到一个最优解，等于贪心解
替换次数是有穷的

`
活动安排问题：
问题描述：只有一个公共场所资源，一次只能有一个活动占用，要求安排的活动尽可能多 。
各活动的起始时间和结束时间存储于数组s和f中，且按结束时间的非减序排列。
每次总是选择具有最早结束时间的相容活动加入到可行解中。（相容：两个活动没有相交的部分）
最大化策略：使得剩余时间最大化
排序：（复杂度）nlogn
活动安排：（复杂度）Θ（n）
机器调度问题：
用尽可能少的资源完成所有任务，每个任务有一个时间区间（起始和终止）
题目描述：n个任务和足够多的机器，任何时间一个机器只能执行一个任务，求占用机器数最少的可行分配。
按起始时间排序：a->f->b->c->g->e->d

隐含的思想：（贪心策略）优先选旧机器，尽可能不用新机器（任务不相容时才使用新的机器）
要使每个机器的最小可用时间点尽可能早（最小可用时间点即该机器上上个任务的结束时间）
注意：当两个旧机器都与要新放的任务相容，应优先选最小可用时间最小的那个机器（如任务d分给了M3而不是M2） 当两个旧机器当前的最小可用时间相等且与要新放的任务相容，则应优先选最旧的机器（该机器对应的数组位置靠前）（如任务e分给了M1而不是M3）
先排序（按开始时间从小到大排序）
使用min-堆存放每台机器的最小可用时间，即该时间后可分配新任务
复杂度：nlogn（排序和堆操作）。
在活动安排和机器调度问题上，上述贪心算法总能得到整体最优解。
最短路径问题：
一个有向图，求从源节点s到目的结点d的最短路
贪心策略：从源节点开始，选与源节点相邻且最近的下一节点q，选与q相邻且距q最近且不在之前所选路径上的下一节点，重复该过程。
0/1背包问题：
货箱装船问题是0/1背包问题的特例：pi=1
不能保证得到最优解
问题描述：背包容量c，n件物品，物品重量wi，效益值pi
要使装的总效益值最高。
问题的解：（x1，……，xn） 约束条件：∑(i=1,n)wixi<=c 目标函数：∑(i=1,n)wipi
贪心策略：
（1）优先装效益值大的
（2）优先装轻的
（3）密度贪心法：优先装效益值密度（pi/wi）最大的
伪代码：

1.将物品按密度从小到大排序
2.for(i=1;i<n;i++)
if(物品i可以装进背包） xi=1(装入)
else xi=0(舍弃);

复杂度：O(nlogn)

 - c=11,w=(2,4,6,5),p=(6,10,12,9)
 - 优化解为（1,1，0,1）
注意：若当前效益密度所对应的物品装不进，应继续往后看，若后面的可以装进，则装进背包。

误差：|优化值-贪心值|/优化值*100%
K-优化算法：误差控制在1/(k+1)*100%之内（有一点点穷举的思想）
预先装入不超过k的商品数，对其余商品用贪心法

• 算法时间复杂度随k的增大而增大：
• 需要测试的子集数目为O(n^k)
• 每个子集做贪心法需时间O(n)
• 因此当k>0时总的时间开销为O(n^k+1)
  哈弗曼编码问题：
  哈弗曼编码：用字符在文件中出现的频率表来建立一个用0、1串表示各字符的最优表示方式。
  用短的编码代表出现频率高的字符，用长的代表出现频率低的字符
  
  二叉树可以作为字符到0/1串的桥梁：使频率高的字符尽量接近树的顶部
  前缀码：对每一个字符规定一个0/1串作为其代码，并要求任一字符的代码都不是其他字符代码的前缀。
  构造最优前缀码的贪心算法，由此产生的编码方案即哈夫曼编码
  
  共n-1次合并
  算法可用最小堆实现优先队列，初始化优先队列O(nlogn)（排序），由于最小堆的插入和删除均需要O(logn)，n-1次合并（选最小并插入和删除）总共需要O(nlogn)。因此哈弗曼编码的计算时间为O(nlogn)。
  拓扑排序：
  根据任务的有向图建立建立拓扑序列的过程称为拓扑排序。
  使用栈的伪代码：

1.计算每个顶点的入度
2.将入度为0的顶点入栈
3.while(栈不空)
{
    任取一入度为0的顶点放入拓扑序列中；
    将与其相邻的顶点入度减1；
    如有新的入度为0的顶点出现，将其放入栈中；
}
如有剩余的顶点，则该图有环路；

使用邻接矩阵复杂度：Θ(n^2)
使用邻接表复杂度：Θ(n+e)
单源最短路径：
题目描述：一个有向图，找出从源节点s到图中所有其他节点的最短路径及其长度。
Dijkstra’s最短路算法：
如果链路权值非负，则最短路的子路径也是最短路。
贪心策略：按最短路长度从小到大依次求解。
基本步骤：

1.维护一个集合S，该集合源节点到其他节点的最短路已知，初始时该集合为空
2.从V-S结点中找一结点v，满足源节点到该节点距离最小
3.更新v的临界点到源节点的距离值

维护一个集合S

Q	A B C D E
	0 ∞ ∞ ∞ ∞
S：{}
`找一个最短路（A到A最短，把A放到集合中去）
更新源节点A到A的相邻点B,C的距离`
Q	A B C D E
–	–
	0 10 3 ∞ ∞
S：{A}
在结点B,C,D,E中，源节点到C的距离最小，选C结点作为v结点放入S中，更新源节点A到C节点相临节点B,D,E的距离
Q	A B C D E
–	–
	* 7 3 11 5
S：{A,C}
在结点B,D,E中，源节点到E的距离最小，选E结点作为v结点放入S中，更新源节点A到E节点相临节点D的距离
Q	A B C D E
–	–
	* 7 * 14 5
S：{A,C,E}
在结点B,D中，源节点到B的距离最小，选B结点作为v结点放入S中，更新源节点A到B节点相临节点D的距离
Q	A B C D E
–	–
	* 7 * 9 *
S：{A,C,E,B}
`在结点D中，源节点到D的距离最小，选D结点作为v结点放入S中，D节点在V-S中无相临节点,无需更新源节点A到D节点相临节点距离
此时V-S为空，算法结束`
Q	A B C D E
–	–
	* * * 9 *
S：{A,C,E,B,D}
Q	A B C D E
–	–
	* * * * *