快速乘法和快速幂法

快速乘法和快速幂法

1、快速乘法

基本原理：

利用乘法的分配率。定义a=a₁+a₂+a₃+…，则a*b = (a₁+a₂+a₃+…)*b。

使用快速乘法计算X*53。53的二进制表示是 110101，根据乘法分配率X*53可以表示成X*(100000*1+10000*1+1000*0+100*1+10*0+1*1)。假设X=5，可以使用下面的流转图表示。

可以看出 a 的状态方程为 a+=a，b的状态方程为 b>>&1，ans 的状态方程为 ans+=a。因此可以得到一下代码

代码：

//计算a*b
public int quickMultiple(int a,int b){
    int ans = 0;
    while (b>0){
        if((b&1)==1){
            ans+=a;
        }
        b=b>>1;
        a+=a;
    }
    return ans;
}

2、快速乘法取余

**背景：**在计算a * b mod c 时可能在计算a * b时越界，导致无法计算结果。

基本原理：

利用mod 的分配率。a * b mod c 可以表示为a*(b₁+b₂+b₃+…) mod c，进一步可以转化为(a*b₁ mod c +a*b₂ mod c +…) mod c。

快速乘法的做法刚好是将结果转化为多个数之和，比如265 = 5*1+10*0+20*1+40*0+80*1+160*1，所以5*53 mod 3 =(5+10+20+80+160) mod 3=(5 mod 3 + 10 mod 3 + 20 mod 3 + 80 mod 3 + 160 mod 3) mod 3。因此可以得到以下代码

代码：

//计算 a*b mod c
public int quickMultiple(int a,int b,int c){
    int ans = 0;
    while (b>0){
        if((b&1)==1){
            ans=(ans+a)%c;
        }
        b=b>>1;
        a=(a+a)%c;
    }
    return ans;
}

3、快速幂法

与快速乘法相似，幂运算也可以通过转换变成乘法，比如a^9=a^(1001)=a^(1000*1+100*0+10*0+1*1)。

其流转图如下：

与快速乘法的区别是：

• ans初始值为1
• a=a+a变成a=a*a
• ans=ans+a变成ans=ans*a

代码：

//计算a^b
public int quickPower(int a,int b){
    int ans = 1;
    while (b>0){
        if((b&1)==1){
            ans=ans*a;
        }
        b=b>>1;
        a=a*a;
    }
    return ans;
}

对与每一轮的乘数又可以用快速乘法表示，比如9 = 3*3，所以又可以转化为下列程序：

//使用快速加法计算a^b
public int quickPower(int a,int b){
    int ans = 1;
    while (b>0){
        if((b&1)==1){
            ans=quickMultiple(ans,a);
        }
        b=b>>1;
        a=quickMultiple(a,a);
    }
    return ans;
}

4、快速幂取余

同理，根据快速幂的分配率可以得到a * b mod c = ((a mod c) * (b mod c)) mod c，比如3⁹ mod 5 =((3*1 mod 5 ) * ( 9*0 mod 5) * (81*0 mod 5) *( 6561* 1) mod 5) mod 5。转化为以下代码

代码：

//计算 a^b mod c
public int quickPower(int a,int b,int c){
    int ans = 1;
    while (b>0){
        if((b&1)==1){
            ans=(ans*a)%c;
        }
        b=b>>1;
        a=(a*a)%c;
    }
    return ans;
}

对于每一轮的乘数又可以用快速乘法表示，比如9 = 3*3，所有又可以转化为下列程序：

//使用快速加法计算a^b mod c
public int quickPower(int a,int b,int c){
    int ans = 1;
    while (b>0){
        if((b&1)==1){
            ans=(quickMultiple(ans,a,c))%c;
        }
        b=b>>1;
        a=(quickMultiple(a,a,c))%c;
    }
    return ans;
}