前缀和题单训练

一维前缀和模板:

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 100010
using namespace std;
int  a[N];
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	a[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		a[i]=a[i]+a[i-1];
	}
	int l,r,sum;
	
	while(m--)
	{
		cin>>l>>r;
		sum=a[r]-a[l-1];
		cout<<sum<<endl;
	}
	return 0;
} 

子矩阵前缀和模板:

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 1010
using namespace std;
int a[N][N],n,m,q;
int s[N][N]; 
int main()
{
	cin>>n>>m>>q;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			cin>>a[i][j];
			s[i][j]=a[i][j]+s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
		}
	}
	int x1,x2,y1,y2;
	while(q--)
	{
		cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
		int sum=s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1];
		cout<<sum<<endl;
	}
	
	return 0;
} 

T1:最佳牛围栏

农夫约翰的农场由 NN 块田地组成,每块地里都有一定数量的牛,其数量不会少于 11 头,也不会超过 20002000 头。

约翰希望用围栏将一部分连续的田地围起来,并使得围起来的区域内每块地包含的牛的数量的平均值达到最大。

围起区域内至少需要包含 FF 块地,其中 FF 会在输入中给出。

在给定条件下,计算围起区域内每块地包含的牛的数量的平均值可能的最大值是多少。

输入格式

第一行输入整数 NN 和 FF,数据间用空格隔开。

接下来 NN 行,每行输入一个整数,第 i+1i+1 行输入的整数代表第 ii 片区域内包含的牛的数目。

输出格式

输出一个整数,表示平均值的最大值乘以 10001000 再 向下取整 之后得到的结果。

数据范围

1≤N≤1000001≤N≤100000
1≤F≤N1≤F≤N

输入样例:

10 6
6 
4
2
10
3
8
5
9
4
1

输出样例:

6500

代码: 

T2:

T3:

T4:

### 关于前缀和与差分算法练习 #### 一维前缀和经典习 以下是几道经典的涉及一维前缀和的编程题目: 1. **区间查询问** 题目描述:给定一个长度为 $N$ 的数组,执行多次询问操作,每次询问给出两个整数 $L$ 和 $R$,返回该区间的元素和。 解决方法:通过构建前缀和数组 `s` 来快速计算任意区间的和。具体实现可以参考以下代码片段: ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int N = 1e5 + 10; long long a[N], s[N]; int main() { int n, q; cin >> n >> q; for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i]; for (int i = 1; i <= n; ++i) s[i] = s[i - 1] + a[i]; // 构建前缀和 while (q--) { int l, r; cin >> l >> r; cout << s[r] - s[l - 1] << endl; // 查询[L,R]区间的和 } return 0; } ``` 2. **频繁修改与查询** 题目描述:对于一个初始全零的数组,支持两种操作:一是点更新某个位置的值;二是查询某一段区间的总和。 这类问可以通过差分数组来优化批量更新操作的时间复杂度[^3]。 --- #### 差分的经典应用 差分的核心思想在于将范围内的加减转化为端点上的增减,从而减少重复计算量。下面是一些典型场景的应用实例: 1. **区间增加问** 题目描述:给定一个长度为 $N$ 的数组,有若干次操作,每种操作指定一个区间 `[L, R]` 并对该区间中的所有元素加上同一个常数值 $C$。最终输出整个数组的状态。 实现方式:利用差分数组记录增量变化,在最后还原原始数据时累加这些差异即可得到目标状态。 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAX_N = 1e5 + 5; long long diff[MAX_N]; void apply_update(int L, int R, int C){ diff[L] += C; if(R + 1 < MAX_N) diff[R + 1] -= C; } vector<long long> get_final_array(int size){ vector<long long> result(size); long long current_sum = 0; for(int i=0;i<size;++i){ current_sum += diff[i]; result[i] = current_sum; } return result; } int main(){ int length, num_operations; cin>>length>>num_operations; memset(diff, 0, sizeof(diff)); for(int op=0;op<num_operations;op++){ int start,end,value; cin>>start>>end>>value; apply_update(start, end, value); } auto final_result=get_final_array(length); for(auto val : final_result){ cout<<val<<" "; } return 0; } ``` --- #### 二维前缀和扩展 当面对矩阵形式的数据结构时,同样可以用类似的思路解决更复杂的多维度统计需求。比如求解矩形区域内的像素亮度平均值等问都可以借助二维前缀和高效完成。 公式表达如下所示: $$ \text{prefix}[x][y] = A[x][y]+\text{prefix}[x-1][y]+\text{prefix}[x][y-1]-\text{prefix}[x-1][y-1] $$ 其中 $\text{A}$ 表示源图像,$\text{prefix}$ 则存储累积的结果用于加速后续访问过程[^2]。 --- ### 总结 以上列举了几类围绕着前缀和与差分展开的基础训练项目及其解决方案框架。希望对你有所帮助!
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