集合的划分（递归）

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#蓝桥杯 #c++ #算法

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本文介绍了一种计算给定集合S的元素按指定条件划分为k个非空子集的方案数S(n,k)，并提供了使用动态规划求解的AC代码，着重于理解递归公式和对1e9+7取余操作的应用。

题目描述

设S是一个具有n个元素的集合，S＝｛a1，a2，……，an｝，现将S划分成k个满足下列条件的子集合S1，S2，……，Sk ，且满足：

则称S1，S2，……，Sk是集合S的一个划分。它相当于把S集合中的n个元素a1 ，a2，……，an 放入k个（0＜k≤n＜30）无标号的盒子中，使得没有一个盒子为空。请你确定n个元素a1 ，a2 ，……，an 放入k个无标号盒子中去的划分数S(n，k)对1e9+7取余之后的值。

输入n,k

输出S(n,k) mod 1e9+7 的值

样例输入 Copy

23 7

样例输出 Copy

968438818

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<string>
const long long MOD=1e9+7;
using namespace std;
long long n,m,k;
long long dp(int n,int k)//i个数放进k个集合的总方案数 
{
	if(n==0 || n<k)//数小于集合数||没有数了,不存在方案 
		return 0;
	if(n==k || k==1)//因为无标号，所以哪个盒子无所谓,盒子数=数，一个盒子，都是一种情况 
		return 1; 
	return (dp(n-1,k-1)+k*dp(n-1,k))%MOD;//要么单独是一个集合，所以相当于少一个数少一个集合
	//要么这个数是从k个集合中取出来的，所以有k种选择(随便进哪个集合) 
	//相加的总和就是现在的方案数 
}
int main()
{
	cin>>n>>k;
	cout<<dp(n,k)<<endl;
	return 0;
}