动态规划：不同二叉搜索树

前言

        动态规划在树的应用中是一种非常重要的算法技术，主要用于解决树结构上的优化问题。树形动态规划（Tree Dynamic Programming, 简称树形DP）通常涉及在树结构上进行状态转移，以求解最优值问题。以下是对树形动态规划的详细解释和应用场景的总结：

**基本概念**：
   - 树形动态规划是一种特殊形式的动态规划，用于解决树结构上的优化问题。它通常涉及到在给定的树上进行某种优化操作，例如求最短路径、最大独立集、最小生成树等。

**应用场景**：
   - 树形动态规划广泛应用于处理树形结构问题，例如在解决树的最大独立集、最小覆盖集、最大团等问题时，树形动态规划都能够提供有效的解决方案。
   - 在二叉树中使用动态规划，可以解决一些新颖且具有启发作用的问题，如“打家劫舍”问题，通过在二叉树上进行递推公式的推导，以求得最大收益。

**算法实现**：
   - 树形动态规划的实现通常涉及两个阶段：首先是自底向上的阶段，即从叶子节点开始，逐步向上计算每个节点的状态值；其次是自顶向下的阶段，即从根节点开始，逐步向下更新每个节点的状态值。
   - 在某些情况下，树形动态规划还可以通过换根法来提高求解效率，特别是在无根树的情况下，通过选择任意节点作为根，然后进行状态转移。

问题定义

        给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

提示：

• 1 <= n <= 19

思路

        对于每个节点值 i（1 到 n），它可以作为根节点，左边的子树可以包含 i-1 个节点，右边的子树可以包含 n-i 个节点。因此，对于 n 个节点的所有可能的二叉搜索树的数量，可以通过组合所有可能的左子树和右子树的数量来计算。

解题过程

1. 定义状态：G(n) 表示由 n 个节点组成的二叉搜索树的种数。
2. 状态转移方程：对于任意 1 <= i <= n，i 可以作为根节点，左边有 i-1 个节点，右边有 n-i 个节点，所以 G(n) = ∑(G(i-1) * G(n-i))，其中 1 <= i <= n。
3. 卡塔兰数：这个问题实际上转化为了计算第 n 个卡塔兰数，卡塔兰数的第 n 项定义为 C_n = (2n)! / ((n+1)! * n!)，且满足 C_0 = 1。
4. 优化计算：直接计算卡塔兰数的公式在大数情况下会有溢出的问题，因此我们使用动态规划来避免直接计算阶乘。

这些方法具体怎么运用？

1. 初始化：创建一个数组 dp，其中 dp[i] 表示由 i 个节点组成的二叉搜索树的种数，初始化 dp[0] = 1 和 dp[1] = 1。
2. 填充 dp 数组：对于 n 从 2 到 N（包含 N），遍历每个可能的根节点 i，根据状态转移方程更新 dp[n]。
3. 计算卡塔兰数：在计算过程中，为了避免大数溢出，我们可以使用组合数的计算公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 来计算，或者使用更高效的计算方法，比如 dp[i] = ∑(2*dp[j-1] * dp[i-j])，其中 j 从 1 到 i。

复杂度

• 时间复杂度：O(n^2)，因为我们需要两层循环来填充 dp 数组。
• 空间复杂度：O(n)，用于存储 dp 数组。

code

class Solution(object):
    def numTrees(self, n):
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[0] = 1
        dp[1] = 1
    
        for i in range(2, n + 1):
            total = 0
            for j in range(i):
                total += dp[j] * dp[i - j - 1]
            dp[i] = total
    
        return dp[n]