动态规划：最大正方形

目录

题目

思路

解题过程

复杂度

 Code

---

题目

        在一个由 '0' 和 '1' 组成的二维矩阵内，找到只包含 '1' 的最大正方形，并返回其面积。

示例 1：

输入：matrix = [["1","0","1","0","0"],["1","0","1","1","1"],["1","1","1","1","1"],["1","0","0","1","0"]]
输出：4

示例 2：

输入：matrix = [["0","1"],["1","0"]]
输出：1

示例 3：

输入：matrix = [["0"]]
输出：0

提示：

• m == matrix.length
• n == matrix[i].length
• 1 <= m, n <= 300
• matrix[i][j] 为 '0' 或 '1'

---

思路

        使用动态规划来计算一个矩阵中，以每个位置 (i, j) 为右下角的最大正方形的边长。通过这种方式，我们可以计算出整个矩阵中最大正方形的边长，并进一步求得其面积。

---

解题过程

• 定义状态：

1. 使用二维数组 dp 来记录以 (i, j) 为右下角的最大正方形的边长。
2. dp[i][j] 代表以位置 (i, j) 为右下角的最大正方形的边长。

• 初始化：

        如果 matrix[i][j] 为 '1'，则 dp[i][j] 可以是 1（当它位于第一行或第一列时），否则需要依赖周围的 dp 值进行更新。

• 状态转移：

        当 matrix[i][j] 为 '1'，且 i > 0 且 j > 0，则 dp[i][j] 的值由以下公式决定：

这里，dp[i-1][j] 是上方的边长，dp[i][j-1] 是左方的边长，dp[i-1][j-1] 是左上方的边长。我们取它们的最小值加 1 来更新 dp[i][j]。

• 更新最大边长：

        在遍历过程中，更新 max_side 变量来存储 dp 中的最大值。

• 计算结果：

        最大正方形的面积是 max_side 的平方，即 max_side * max_side。

---

复杂度

• 时间复杂度: (O(m*n))：其中 m 是矩阵的行数，n 是矩阵的列数。我们需要遍历整个矩阵一次，计算每个位置的 dp 值。

• 空间复杂度: (O(m*n))：我们使用了一个与原矩阵相同大小的 dp 数组来存储每个位置的最大正方形边长。

---

Code

class Solution(object):
    def maximalSquare(self, matrix):
        if not matrix:
            return 0
    
        m, n = len(matrix), len(matrix[0])
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]
        max_side = 0
    
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                if matrix[i][j] == '1':
                    if i == 0 or j == 0:
                        dp[i][j] = 1
                    else:
                        dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1
                    max_side = max(max_side, dp[i][j])
    
        return max_side * max_side