开锁（unlock） | 题解

最新推荐文章于 2024-04-23 09:31:34 发布

隐仞

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分类专栏： Oi 文章标签： c++

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本文探讨了在给定一组互锁的箱子中，随机选取k个箱子并使用其中的钥匙尝试开启所有箱子的问题。通过分析箱锁系统的拓扑结构，将问题转化为求解环状结构上特定节点选择的概率，进而提出了一种基于组合数学的方法来精确计算所有箱子能够被成功打开的概率。

开锁（unlock）

Outline

有 n 个箱子，随机开箱，每个箱子里有开 另一个 箱子的钥匙，每个箱子 有且只有一把钥匙能开 ，开 k 个，每个箱子拿出的钥匙能继续开下一个，求能全部打开的概率。

Input

第一行一个整数 $T$ 表示数据组数。
每组数据第一行两个整数 $n, k$ ，意义见题目描述。
第二行 $n$ 个整数 $a_i$ ，表示第i个盒子中装有可以打开第 $a_i$ 个盒子的锁的钥匙

output

对于每组数据输出一行表示答案，要求绝对误差不超过4位小数。

Thinking

可以考虑到他们是很多环，因为每个箱子都能开 另一个 箱子，所以总会开回自己的。那么能每个箱子都开的条件就是每个环都 至少有一个 在 一开始 就被打开了，也就是在那 k 个中。既然如此，便考虑组合数，在答案即是在 总可能开法中能全部打开的方案数占比 ，而能全部打开的方案数即每个环取 x 个（ x 的总和等于 k ）的方案数（ x 的取值为1~ size_环 ）

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 333
#define C(m,n) (T[n]/T[m]/T[n-m])
using namespace std;

int test,a[maxn],sum[maxn],F[maxn],cnt,n,k;
long double f[maxn][maxn],T[maxn];

void work(int x,int fa){
	if(x==fa) return;
	F[x]=F[fa],++sum[cnt];
	work(a[x],fa);
}

int main(){
	scanf("%d",&test),T[0]=1,f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=300;++i) T[i]=T[i-1]*i;
	while(test--){
		scanf("%d%d",&n,&k),cnt=0;
		memset(F,0,sizeof F);
		for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
		for(int i=1;i<=n;++i) if(!F[i]) F[i]=++cnt,sum[cnt]=1,work(a[i],i);
		for(int i=1;i<=cnt;++i)
			for(int j=1;j<=k;++j){
				f[i][j]=0;
				for(int x=1;x<=min(sum[i],j);++x)
					f[i][j]+=f[i-1][j-x]*C(x,sum[i]);
			}
		printf("%.9Lf\n",f[cnt][k]/C(k,n));
	}
}