算法导论9-2 -邮局位置问题

题目大致如下：

虽然知道题目d的答案应该是带权中值，但是没有办法证明，然后找了很多地方才知道怎么证明。

下面就把证明过程列出来：

记号约定

d[i] 表示点i的权重

dist[i,j] 表示点i与点j之间的距离

L、R分别表示点P左边和点P右边的点构成的集合

E 表示求和，网页实在无法打出求和符号。

（1）。首先，需要证明选择的点与点之间的距离无关，只与权重有关。

设T为最佳选择点，T+1为T右边的第一个点。

因为T为最佳选择点，那么有如下不等式成立

Ed[i]*dist[i,T] <=Ed[i]*dist[i,T+1]

将等式展开，有如下

Ed[L]*dist[L,T] + Ed[R]*dist[R,T] + d[T+1]dist[T,T+1] <=  Ed[L]*dist[L,T+1] + Ed[R]*dist[R,T+1] + d[t]*dist[T+1,T]，其中L< T, R>=T+1

将等式整理，可以得到 Ed[L] +d[T] >= Ed[R] ， 其中L<T, R>=T+1。

即如果T是最优点，那么T右边的全值之和小于T左边的权值之和加上T的权值。

同理可以证明，T左边的权值之和小于T右边的权值加上T的权值。

因此，T的选择与距离无关，与权值有关。

(2) 证明T一定是所有点的带权中值。

有上述内容，我们可以知道，Ed[L]+d[T] >= Ed[R].

记ALL为全部权值之和，有

ALL >=2Ed[R]

同理，ALL>=2Ed[L]。

故T一定为N个点的带权中值。