算法设计与分析第五章作业

本文介绍了使用回溯法解决最小重量机器设计问题的过程,涉及解空间的构建、m叉树结构、状态值表示(重量cw和价格cm)、以及利用限界函数进行剪枝优化。回溯算法通过递归尝试所有可能的选择,直至找到最优解。

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用回溯法分析“最小重量机器设计问题”

代码

#include<bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
const int N=1010;
int n,m,d;
int w[N][N],c[N][N];
int x[N],bestx[N];
int cw,cm;
int bestw=0x3f3f3f3f;
 
void dfs(int u)
{
	if(u>n)
	{
		if(cw<bestw)
		{
			bestw=cw;
			for(int i=1;i<=n;i++) bestx[i]=x[i];
		}
		return;
	}
	
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		x[u]=i;
		if(cm+c[u][i]<=d && cw+w[u][i]<bestw)
		{
			cw+=w[u][i];
			cm+=c[u][i];
			dfs(u+1);
			cw-=w[u][i];
			cm-=c[u][i]; 
		}
	}
}
 
int main()
{
	cin>>n>>m>>d;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			cin>>c[i][j];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			cin>>w[i][j];
			
	dfs(1);
	
	cout<<bestw<<endl;
	for(int i=1;i<=n;i++) cout<<bestx[i]<<" ";
	cout<<endl;
	
	return 0;
}

1.1 说明“最小重量机器设计问题"的解空间

对于每个部件有m个选择,一共有n个部件,其解空间为由n种长度为m的向量组成。

1.2 说明 “最小重量机器设计问题"的解空间树

由于每个部件有m个选择,具体形态为m叉树。

1.3 在遍历解空间树的过程中,每个结点的状态值是什么

每个结点的状态值由两部分组成,分别是当前重量cw和当前价格cm。

1.4 如何利用限界函数进行剪枝

限界函数能去掉非最优的可行解,即为代码中的条件语句:

if(cm+c[u][i]<=d && cw+w[u][i]<bestw) {}

2. 你对回溯算法的理解

回溯算法是一种通过不断尝试可能的解决方案来解决问题的算法。它通常用于寻找问题的所有可能解或找到满足特定条件的解。回溯算法的基本思想是从问题的起始状态开始,尝试所有可能的选择,并根据每个选择的结果进行进一步的选择或回退。

回溯算法通常用递归的方式实现。在每一步,它都会尝试一个选择,并进入下一步。如果这个选择导致了一个无效的解决方案,它会回溯到上一步,并尝试其他的选择。这样,它可以逐步地构建出问题的解决方案。

回溯算法的关键是正确地定义问题的状态和选择。在每一步,我们需要根据当前状态做出一个选择,并更新状态,然后递归地进入下一步。如果所有的选择都尝试完了,但没有找到满足条件的解,我们会回溯到上一步并尝试其他的选择。

由于回溯算法尝试了所有可能的解决方案,所以它的时间复杂度往往比较高。在实际应用中,我们常常需要通过剪枝和限界等技巧来减少不必要的搜索,以提高算法的效率。

### 贪心算法的相关练习题目 以下是基于《算法设计分析》一书第二章关于贪心算法的内容整理的一些经典练习题和作业方向: #### 1. **活动选择问题** 给定一系列活动,每个活动都有开始时间和结束时间。目标是从这些活动中选出尽可能多的不重叠活动。此问题是典型的贪心算法应用案例之一[^1]。 ```python def activity_selection(activities): activities.sort(key=lambda x: x[1]) # 按照结束时间排序 selected_activities = [activities[0]] last_end_time = activities[0][1] for act in activities[1:]: if act[0] >= last_end_time: selected_activities.append(act) last_end_time = act[1] return selected_activities ``` --- #### 2. **最小硬币找零问题** 假设有一组面额不同的硬币,目标是以最少数量的硬币凑成指定金额。这是一个经典的贪心优化问题,在某些情况下可能无法得到最优解(取决于硬币面额的设计)。如果硬币面额满足特定条件,则可以使用贪心策略求解[^2]。 ```python def coin_change(coins, amount): coins.sort(reverse=True) # 按降序排列 count = 0 for coin in coins: while amount >= coin: amount -= coin count += 1 return count if amount == 0 else -1 ``` --- #### 3. **区间覆盖问题** 给定一组线段以及一条直线上的某个区间 `[a, b]`,目标是找到能够完全覆盖该区间的最少数目的线段集合。这个问题可以通过先按起点排序再逐步扩展的方式解决[^3]。 ```python def interval_cover(intervals, target_start, target_end): intervals.sort(key=lambda x: (x[0], x[1])) result = [] current_position = target_start i = 0 while current_position < target_end and i < len(intervals): best_interval = None max_reach = current_position while i < len(intervals) and intervals[i][0] <= current_position: if intervals[i][1] > max_reach: max_reach = intervals[i][1] best_interval = intervals[i] i += 1 if not best_interval: break result.append(best_interval) current_position = max_reach return result if current_position >= target_end else [] ``` --- #### 4. **霍夫曼编码问题** 霍夫曼编码是一种用于数据压缩的经典贪心算法。通过构建一棵带权路径长度最小的树来实现字符的最佳编码方式[^4]。 ```python import heapq class Node: def __init__(self, char=None, freq=0, left=None, right=None): self.char = char self.freq = freq self.left = left self.right = right def __lt__(self, other): return self.freq < other.freq def huffman_encoding(frequencies): heap = [] for char, freq in frequencies.items(): heapq.heappush(heap, Node(char, freq)) while len(heap) > 1: node1 = heapq.heappop(heap) node2 = heapq.heappop(heap) merged_node = Node(None, node1.freq + node2.freq, node1, node2) heapq.heappush(heap, merged_node) root = heap[0] codes = {} generate_codes(root, "", codes) return codes def generate_codes(node, code, codes): if node is None: return if node.char is not None: codes[node.char] = code generate_codes(node.left, code + "0", codes) generate_codes(node.right, code + "1", codes) ``` --- #### 5. **旅行商问题近似解** 虽然严格意义上的旅行商问题属于 NP 完全问题,但在一些特殊条件下(如三角形不等式成立),可以用贪心方法获得较好的近似解[^5]。 ```python from itertools import combinations def tsp_approximation(graph): n = len(graph) visited = set() path = [] total_cost = 0 start_vertex = 0 current_vertex = start_vertex while True: min_edge = float('inf') next_vertex = -1 for v in range(n): if v != current_vertex and graph[current_vertex][v] < min_edge and v not in visited: min_edge = graph[current_vertex][v] next_vertex = v if next_vertex == -1: break visited.add(next_vertex) path.append((current_vertex, next_vertex)) total_cost += min_edge current_vertex = next_vertex # 返回到起始节点 path.append((current_vertex, start_vertex)) total_cost += graph[current_vertex][start_vertex] return path, total_cost ``` ---
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