hdu 6069 统计区间约数的个数 2017 Multi-University Training Contest - Team 4

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分类专栏：数论

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本文介绍了一道计数除数的算法题，详细解释了解题思路与方法，包括如何利用质数分解来简化计算过程，并提供了一个具体的C++实现代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Counting Divisors

Time Limit: 10000/5000 MS (Java/Others) Memory Limit: 524288/524288 K (Java/Others)
Total Submission(s): 1720 Accepted Submission(s): 629

Problem Description

In mathematics, the function

d(n) denotes the number of divisors of positive integer

n.

For example,

d(12)=6 because

1,2,3,4,6,12 are all

12's divisors.

In this problem, given

l,r and

k, your task is to calculate the following thing :

(\sum i = l r d (i k)) mod 998244353

Input

The first line of the input contains an integer

T(1≤T≤15), denoting the number of test cases.

In each test case, there are

3 integers

l,r,k(1≤l≤r≤1012,r−l≤106,1≤k≤107).

Output

For each test case, print a single line containing an integer, denoting the answer.

Sample Input

Sample Output

10
48
2302

首先我们要知道一个定理

一个数的约数的个数等于，唯一分解成质数的形式后，每一个指数加一后累乘的结果

本题就比较简单了，比赛的时候傻逼了

枚举10的六次方以内的质数，不超过八万好像，忘了，可以运行程序看看就知道了，反正不多

然后再区间内部，枚举质数的倍数，这样可以减少很多运算量，然后计算这个质数在这个倍数里面可以分解得到多少个，即上面说的指数

需要注意的是，分解后可能会有大于10的六次方的指数，最后把这些数另外处理一下即可

#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define LL long long
#define mod 998244353
#define MAXN 1000006
LL sum[MAXN],num[MAXN];
LL primer[MAXN];
LL flag[MAXN];

int cnt=0;
void get_primer()
{
    flag[0]=flag[1]=1;
    LL sqrtmaxn=(LL)sqrt((double)MAXN);
    for(int i=2;i<MAXN;i++){
        if(primer[i]==0){
            flag[i]=flag[i-1];

            primer[cnt++]=i;
            if(i<sqrtmaxn)
                for(int j=i*i;j<MAXN;j+=i)
                    primer[j]=1;
        }
        else
            flag[i]=(flag[i-1]*i)%mod;
    }
}

int main()
{
    int T;
    get_primer();
    LL a,b,c,ans;
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
        for(int i=0;i<=b-a+1;i++)
            sum[i]=1,num[i]=a+i;

        LL pos,t,temp;
        for(int i=0;i<cnt;i++){
            if(primer[i]>(b/2+1))
                break;
            t=a/primer[i];
            if(a%primer[i]) t++;
            pos=t*primer[i];

            for(LL j=pos;j<=b;j+=primer[i]){
                t=0;
                while(num[j-a]%primer[i]==0)
                    num[j-a]/=primer[i],t++;
                sum[j-a]=sum[j-a]*(c*t+1)%mod;
            }
        }

        ans=0;
        for(LL j=a;j<=b;j++){
            if(num[j-a]>1)
                sum[j-a]=sum[j-a]*(c+1)%mod;
            ans=(ans+sum[j-a])%mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}