权值线段树、主席树学习

初学主席树，主要是反复看了卿学姐的视频（我竟然在B站学算法）和知乎“主席树是如何求区间k大的”，才算懂了点皮毛。

传送门：

卿学姐的B站视频

知乎-“主席树是如何求区间k大的”

首先，学习主席树要点的前置技能是权值线段树（卿学姐说的是线段树，个人认为不太确切）。权值线段树之所以会带上“权值”二字，是因为它是记录权值的线段树。因此需要用到离散化操作来处理a[1-n]。记录权值指的是，每个点上存的是区间内的数字出现的总次数。比如一个长度为10的数组[1,1,2,3,3,4,4,4,4,5]。

其中1出现了两次，那么[1,1]这个节点的值为2，2出现了1次，那么[2,2]这个节点的值为1，那么显然[1,2]这个节点的值为3，即1出现的次数和2出现的次数加和。那么如果我想要知道这个数组上的第k小，我就可以在这棵权值线段树上用logn的时间来实现。比如我想要求这个区间上的第7小，那么我先找到这棵树的根节点，根节点上的数字显示的是10，表示在[1,8]这个区间上一共有10个数字，那么我只要去看它的左孩子上的个数是多少。这时我看到左孩子上的数字是9，说明前9小的数字都在左子树上，那么我要找的第7小也在左子树上，那么我就递归去找左子树。当我再看左孩子的时候，看到数字是3，说明前3小的数字在左子树上，那么我要找的就是右子树上的第k-sum[i]小，即7-3=4，找到右子树上的第4小即可。直到找到某一个叶子节点，说明找到了我要找的第k小。这是通过权值线段树找到区间[1,n]上的第k小/大的应用。

那么知道了权值线段树是什么之后，主席树又是什么呢。主席树是一棵可持久化线段树，可持久化指的是它保存了这棵树的所有历史版本，最简单的办法是：如果你输入了n个数，那么每输入一个数字a[i]，就构造一棵保存了从a[1]到a[i]的权值线段树。之所以这么做，是因为我们可以把第j棵树和第(i-1)棵树上的每个点的权值相减，来得到一颗新的权值线段树，而这个新的权值线段树相当于是输入了a[i]到a[j]以后得到的。如果这么说不太好理解的话，我们可以思考另外一个模型：求数组a[1]到a[n]的和。如果只是求[1,n]这一段的和，那么我们直接全部加起来就可以了，或者求一个前缀和sum[n]即可。那么如果我给定了l和r，想要知道[l,r]这段区间上的和呢？是不是利用前缀和sum[r]-sum[l-1]就可以轻松得到？那么主席树的思想也是如此，将tree[r]-tree[l-1]得到的一棵权值线段树即为属于[l,r]的一棵权值线段树，那么在这么一棵权值线段树上求第k大不是就转变为之前的问题了么。如果还是没有理解为什么可以用tree[r]-tree[l-1]来表示属于[l,r]的权值线段树，可以自己构造一个数组，然后画出属于[1,l-1]，[1,r]和[l,r]的三颗权值线段树，来自己研究研究，多自己动手也不是一件坏事嘛。

还有一个问题需要解决，那就是空间问题。显而易见的是，如果每输入一个数就重新构造一棵权值线段树，必然会导致空间不够用：一棵线段树的空间就是n*4，那么一共的空间开销就是n*n*4，显然是会MLE的。那么这个问题怎么解决呢？可以发现每更新一个点，就会从它开始把它的所有祖先都更新一次，而其他的点都没有被改变，即：每次改变的结点只有logn个。这样，我们每次输入一个数，只需要多开logn个空间，那么实际的空间开销只有n*(4+logn)，满足了空间要求。

以两道基础题结束。（代码主要仿照卿学姐的视频中的代码）

POJ-2104

AC代码：

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll ;
const int oo=0x7f7f7f7f ;
const int maxn=1e5+7;
const int mod=1e9+7;
int n,m,cnt,root[maxn],a[maxn],x,y,k;
struct node{
    int l,r,sum;
}T[maxn*25];
vector<int> v;
int getid(int x){
    return lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()+1;
}
void update(int l,int r,int &x,int y,int pos){
    T[++cnt]=T[y],T[cnt].sum++,x=cnt;
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)/2;
    if(mid>=pos) update(l,mid,T[x].l,T[y].l,pos);
    else update(mid+1,r,T[x].r,T[y].r,pos);
}
int query(int l,int r,int x,int y,int k){
    if(l==r) return l;
    int mid=(l+r)/2;
    int sum=T[T[y].l].sum-T[T[x].l].sum;
    if(sum>=k) return query(l,mid,T[x].l,T[y].l,k);
    else return query(mid+1,r,T[x].r,T[y].r,k-sum);
}
int main(void){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),v.push_back(a[i]);
    sort(v.begin(),v.end());
    v.erase(unique(v.begin(),v.end()),v.end());

    for(int i=1;i<=n;i++) update(1,n,root[i],root[i-1],getid(a[i]));
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
        printf("%d\n",v[query(1,n,root[x-1],root[y],k)-1]);
    }

    return 0;
}

HDU-2665

AC代码：

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll ;
const int oo=0x7f7f7f7f ;
const int maxn=1e5+7;
const int mod=1e9+7;
int t,n,m,cnt,root[maxn],a[maxn],x,y,k;
struct node{
    int l,r,sum;
}T[maxn*25];
vector<int> v;
int getid(int x){
    return lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()+1;
}
void update(int l,int r,int &x,int y,int pos){
    T[++cnt]=T[y],T[cnt].sum++,x=cnt;
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)/2;
    if(mid>=pos) update(l,mid,T[x].l,T[y].l,pos);
    else update(mid+1,r,T[x].r,T[y].r,pos);
}
int query(int l,int r,int x,int y,int k){
    if(l==r) return l;
    int mid=(l+r)/2;
    int sum=T[T[y].l].sum-T[T[x].l].sum;
    if(sum>=k) return query(l,mid,T[x].l,T[y].l,k);
    else return query(mid+1,r,T[x].r,T[y].r,k-sum);
}
int main(void){
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        v.clear();
        cnt=0;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),v.push_back(a[i]);
        sort(v.begin(),v.end());
        v.erase(unique(v.begin(),v.end()),v.end());

        for(int i=1;i<=n;i++) update(1,n,root[i],root[i-1],getid(a[i]));
        for(int i=1;i<=m;i++){
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
            printf("%d\n",v[query(1,n,root[x-1],root[y],k)-1]);
        }
    }
	return 0 ;
}

之所以把hdu-2665也放上来，是因为在这道题的初始化上踩了坑，只记得把vector清空，忘记把作为存储初始值的cnt给赋为0，也算是一个提醒吧。顺带一提，hdu-2665的题意说的是求区间第k大，但是区间第k大wa了，而区间第k小AC了，很奇怪2333。