蓝桥杯基础 数论 黑洞数

最新推荐文章于 2023-04-01 19:27:08 发布
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博客探讨了数字黑洞的概念，以6174问题为例，指出不同位数的黑洞数或循环现象。5位数中，通过数字重排计算差值的重复过程形成特定循环圈，例如82962 -> 75933 -> 63954 -> 61974。任务是找出所有5位数的循环圈并以指定格式输出。
黑洞数是指于四位数中，只要数字不完全相同，将数字由大到小的排列减去由小到大的排列。假设一开始选定的数字为 x_1 ， x_2 =f( x_1 )， x_3 =f( x_2 )，...， x_n =f( x_{n-1} ) 用同样的规则继续算下去，最后的结果一定是 6174 。 比如说一开始选定9891，则f(9891)=9981-1899=8082，f(8820)=8820-0288=8532，f(8532)=8532-2358=6174，f(7641)=7641-1467=6174~

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Acwing蓝桥杯省赛专题训练之数论（相关真题和模板题）
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蓝桥杯基础数论
qq_51817638的博客
04-08 1099
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蓝桥杯第二次培训--数论
dyk
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最大公约数 指两个或多个整数共有约数中最大的一个 质因数分解法 质因数分解法：把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。 例如 6=2*3 4=2*2 相同的有2 所以2就是4,6的最大公约数 辗转相除法 辗转相除法：辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里德算法。 例如 120 50 120%50=20 50%20=10 20%10=0 10就是120和50的最大公约数 代码 int gcd(int a,int b) { i
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【蓝桥杯_真题演练】第九届C/C++省赛B组_C-乘积尾零（C++_数论）
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什么是蓝桥杯初等数论
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<think>好的，用户想了解蓝桥杯竞赛中初等数论相关的知识点、题目和解题方法。首先，我需要回忆蓝桥杯常见的数论考点，然后整理出主要的几个部分，比如质数、最大公约数、同余、欧拉函数等。每个部分需要给出基本概念、应用实例和解题策略。 首先，质数部分，蓝桥杯常考质数判断、筛法求质数，比如埃拉托斯特尼筛法或者线性筛。需要举一个例题，比如判断某个数是否为质数，或者找出某个范围内的所有质数。然后解题方法部分要说明如何用试除法或筛法解决。 接下来是最大公约数和最小公倍数，这里欧几里得算法是基础，可以给出代码实现。同余方程部分可能会涉及扩展欧几里得算法，用于求解ax ≡ b mod m的问题，需要解释其应用场景，比如求解线性同余方程或模逆元。 欧拉函数也是重点，需要说明其定义和计算方法，比如分解质因数后用公式计算。可能的应用题目是求某个数的欧拉函数值，或者利用欧拉定理解决问题。比如求a^b mod m的时候，如果a和m互质，可以用欧拉定理简化计算。 然后，中国剩余定理可能在蓝桥杯中出现，用来解决同余方程组的问题。需要举一个例子，比如找到满足多个模数同余条件的数。 费马小定理可能用于快速幂取模的问题，特别是当模数是质数时，可以用来求逆元。这部分需要结合例题说明如何应用。 在解题策略方面，需要强调数学建模的重要性，将实际问题转化为数论问题。另外，处理大数问题时需要注意优化算法，避免超时。比如使用快速幂算法来高效计算大指数模运算。 还要考虑引用已有的资料，比如用户提供的参考引用[1]，确保内容符合蓝桥杯的考点。然后生成相关问题，帮助用户进一步巩固知识点，比如质数筛法的选择、扩展欧几里得算法的应用场景等。 最后，检查所有数学公式是否符合要求，行内公式用$...$，独立公式用$$...$$，确保LaTeX语法正确，用中文回答，结构清晰，分点说明。同时，生成的相关问题需要覆盖各个知识点，帮助用户全面复习。</think>### 蓝桥杯初等数论知识点与解题方法 #### 一、核心知识点与例题 1. **质数与筛法** - **基本概念**：质数是大于1且只能被1和自身整除的数。筛法用于快速生成质数表。 - **应用实例**： 题目：求$1 \leq n \leq 10^6$内所有质数。 解题方法：使用埃拉托斯特尼筛法（时间复杂度$O(n \log \log n)$）。 ```python def sieve(n): is_prime = [True] * (n+1) is_prime[0] = is_prime[1] = False for i in range(2, int(n**0.5)+1): if is_prime[i]: for j in range(i*i, n+1, i): is_prime[j] = False return [i for i, prime in enumerate(is_prime) if prime] ``` 2. **最大公约数（GCD）与最小公倍数（LCM）** - **公式**： $$ \text{GCD}(a,b) \times \text{LCM}(a,b) = a \times b $$ - **应用实例**： 题目：求$a=24$和$b=36$的最大公约数与最小公倍数。 解题方法：欧几里得算法（辗转相除法）： ```python def gcd(a, b): return a if b == 0 else gcd(b, a % b) def lcm(a, b): return a * b // gcd(a, b) ``` 3. **同余与模运算** - **基本概念**：若$a \equiv b \pmod{m}$，则$a$和$b$除以$m$的余数相同。 - **应用实例**： 题目：求$3^{100} \mod 7$。 解题方法：利用费马小定理（$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$，$p$为质数），得$3^6 \equiv 1 \pmod{7}$，因此$3^{100} = 3^{6 \times 16 + 4} \equiv 1^{16} \times 3^4 \equiv 4 \pmod{7}$[^1]。 4. **扩展欧几里得算法** - **应用场景**：求解线性同余方程$ax \equiv b \pmod{m}$。 - **解题步骤**： 1. 求方程$ax + my = \text{GCD}(a, m)$的解$(x_0, y_0)$。 2. 若$b$是$\text{GCD}(a, m)$的倍数，则通解为$x = x_0 \cdot (b / \text{GCD}(a, m)) + k \cdot (m / \text{GCD}(a, m))$。 5. **欧拉函数（$\phi(n)$）** - **定义**：$\phi(n)$表示$1$到$n$中与$n$互质的数的个数。 - **公式**：若$n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \dots p_m^{k_m}$，则 $$ \phi(n) = n \times \prod_{i=1}^{m} \left(1 - \frac{1}{p_i}\right) $$ - **应用实例**： 题目：求$\phi(12)$。 解题方法：$12 = 2^2 \times 3^1$，则$\phi(12) = 12 \times (1-1/2) \times (1-1/3) = 4$。 --- #### 二、解题策略 1. **数学建模**：将实际问题转化为数论问题，如将“分配问题”转化为同余方程。 2. **大数优化**：对高次幂取模使用快速幂算法（时间复杂度$O(\log n)$）。 ```python def fast_pow(a, b, mod): res = 1 while b > 0: if b % 2 == 1: res = (res * a) % mod a = (a * a) % mod b = b // 2 return res ``` ---
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