抄书——最优化的理论与方法（5）——数学基础（凸集和凸函数）

以下内容主要抄自抄袁亚湘的《最优化理论与方法》的 1.3 凸集和凸函数

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凸性（Convexity）在优化化理论和方法的研究中起着重要作用。

1.3.1 凸集

定义 1.3.1
设集合 $S\subset R^n$，如果对于任意 $x_1,x_2\in S$，有
$$\alpha x_1+(1-\alpha )x_2\in S,\forall \alpha \in [0,1](1.3.1)$$
则称 $S$ 是凸集。
这个定义表明，如果 $x_1,x_2\in S$，则连接 $x_1$ 和 $x_2$ 的线段属于 $S$。

图1 凸集与非凸集（左边是凸集，右边是非凸集）
归纳地可以证明，$R^n$ 的子集 $S$ 为凸集当且仅当对任意 $x_1,x_2,\cdots ,x_m\in S$，有
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^m{\alpha }_i{x}_i\in S,(1.3.2) \\ \text{with }\sum _{i=1}^m{\alpha }_i=1,{\alpha }_i\ge 0,i=1,\cdots ,m \end{gathered}$$
(1.3.1)中的 $x=\alpha x_1+(1-\alpha )x_2$ 称为 $x_1$ 和 $x_2$ 的凸组合，(1.3.2)中的 $x=\sum {\alpha }_i{x}_i$ 称为 $x_1,\cdots ,x_n$ 的凸组合。
例 1.3.2
超平面 H={x∣ pTx=α,α∈R}H=\{ x\vert\ p^Tx=\alpha,\alpha\in R\}H={x∣ pTx=α,α∈R} 是凸集，其中 $p\in R^n$ 是非零向量，称为超平面的法向量，$\alpha$ 为实数。
例 1.3.3
闭半空间 H−={x∣ pTx≤β}H^-=\{x \vert \ p^Tx\le \beta\}H−={x∣ pTx≤β} 和 H+={x∣ pTx≥β}H^+=\{x \vert \ p^Tx\ge \beta\}H+={x∣ pTx≥β} 为凸集。开半空间 H˚−={x∣ pTx&lt;β}\mathring H^-=\{x \vert \ p^Tx\lt \beta\}H˚−={x∣ pTx<β} 和 H˚+={x∣ pTx&gt;β}\mathring H^+=\{x \vert \ p^Tx\gt \beta\}H˚+={x∣ pTx>β} 为凸集。
例 1.3.4
射线 S={x∣ x0+λd, λ≥0}S=\{x\vert\ x_0+\lambda d,\ \lambda\ge 0\}S={x∣ x0​+λd, λ≥0} 为凸集，其中，$d$ 是给定的任意非零向量，$x_0$ 是定点。

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对于任意 $x_1,x_2\in S$ 和每个数 $\lambda \in [0,1]$，有
$$x_1=x_0+{\lambda }_{1}d,x_2=x_0+{\lambda }_{2}d,{\lambda }_1,{\lambda }_2\in [0,1]$$
因而，
$$\begin{gathered} \lambda x_1+(1-\lambda )x_2=x_0+[\lambda {\lambda }_1+(1-\lambda ){\lambda }_2]d \\ \lambda {\lambda }_1+(1-\lambda ){\lambda }_2\ge 0 \end{gathered}$$
故，$\lambda x_1+(1-\lambda )x_2\in S$.

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此外，若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$b\in R^n$，则集合
S={x∈Rn∣Ax=b} S=\{x\in R^n \vert Ax=b\} S={x∈Rn∣Ax=b}
是凸集。
由有限个半闭空间的交组成的集合 $S$ 叫多面集，表达为
S={x∣piTx≤βi, i=1,⋯&ThinSpace;,m} S=\{x\vert p_i^T x\le \beta_i,\ i=1,\cdots,m\} S={x∣piT​x≤βi​, i=1,⋯,m}
其中 $p_i$ 是非零向量，${\beta }_i$ 是实数。多面集是闭凸集。由于等式可以用两个不等式表示，所以下面的集合都是多面集的例子：
S={x∣Ax=b, x≥0},S={x∣Ax≥0, x≥0}. S=\{x\vert A x=b,\ x\ge 0\},\\ S=\{x\vert A x\ge 0,\ x\ge 0\}. S={x∣Ax=b, x≥0},S={x∣Ax≥0, x≥0}.
下面的引理叙述了凸集的性质，即两个凸集的交集是凸集，两个凸集的代数和是凸集。
引理 1.3.5
设 $S_1$ 和 $S_2$ 是 $R^n$ 中的凸集，则
1）$S_1\cap S_2$ 是凸集；
2）S1±S2={x1±x2∣ x1∈S1,x2∈S2}S_1 \pm S_2=\{ x_1\pm x_2 \vert\ x_1\in S_1, x_2 \in S_2\}S1​±S2​={x1​±x2​∣ x1​∈S1​,x2​∈S2​}
从这个引理可知，线性规划和二次规划中的可行域是凸集，因为它是超平面和半空间的交集。

设 $S\subset R^n$，包含子集 $S$ 的所有凸集的交叫 $S$ 的凸包，记作 $conv(S)$，它是包含 $S$ 的唯一的最小的凸集。凸包 $conv(S)$ 由 $S$ 中元素的所有凸组合组成，
$$conv(S)=\left\{x|x=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{x}_i,x_i\in S,\sum _{i=1}^m{\alpha }_i=1,{\alpha }_i\ge 0,i=1,\cdots ,m\right\}(1.3.3)$$

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$R^n$ 的子集叫锥，如果它关于正的数乘运算是封闭的，即当 $x\in K,\lambda >0$ 时，$\lambda x\in K$。如果锥 K 也是凸集，则称之为凸锥。例如：
{x=(ξ1,⋯&ThinSpace;,ξn) ∣ ξ1≥0,⋯&ThinSpace;,ξn≥0},{x=(ξ1,⋯&ThinSpace;,ξn) ∣ ξ1&gt;0,⋯&ThinSpace;,ξn&gt;0}, \{ x=(\xi_1,\cdots,\xi_n)\ \vert \ \xi_1\ge 0,\cdots,\xi_n \ge 0\},\\ \{ x=(\xi_1,\cdots,\xi_n)\ \vert \ \xi_1\gt 0,\cdots,\xi_n \gt 0\}, {x=(ξ1​,⋯,ξn​) ∣ ξ1​≥0,⋯,ξn​≥0},{x=(ξ1​,⋯,ξn​) ∣ ξ1​>0,⋯,ξn​>0},
和
{x∈Rn ∣ xTbi≤0,i∈I} \{ x\in R^n \ \vert \ x^Tb_i\le 0, i\in I\} {x∈Rn ∣ xTbi​≤0,i∈I}
均是凸锥，在上式中，$b_i\in R^n$，$I$ 是一个任意指标集。
$R^n$ 的一个子集是凸锥当且仅当它关于加法和正的数乘运算是封闭的。包含凸集 $C$ 的最小凸锥是
K={λx ∣ λ&gt;0,x∈C} K=\{\lambda x\ \vert\ \lambda \gt 0, x\in C\} K={λx ∣ λ>0,x∈C}

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下面叙述开集、闭集、开凸集和闭凸集。
设 $x\in R^n$，开球 $B(x,r)$ 定义为：
B(x,r)={y∈Rn ∣ ∥y−x∥&lt;r} B(x,r) = \{y\in R^n \ \vert \ \Vert y-x \Vert \lt r \} B(x,r)={y∈Rn ∣ ∥y−x∥<r}
这是一个以 $x$ 为中心，以 $r$ 为半径的开球。
设 $S\subset R^n$，如果存在 $r>0$，使得 $B(x,r)\subset S$，则称 $x\in R^n$ 是 $S$ 的内点。$S$ 的所有内点的集合叫 $S$ 的内部，用 $int(S)$ 表示。显然，$int(S)\subset S$。
如果子集 $S$ 的每一点都是 $S$ 的内点，即 $int(S)=S$，则 $S$ 称为开子集。特别，空集 $\varnothing$ 和 $n$维空间 $R^n$（全集） 是 $R^n$ 的开子集。（它们既是开集，又是闭集。）
设 $S\subset R^n$，如果
$$S\cap B(x,r)̸=\varnothing ,\forall r>0$$
则 $x$ 称为属于S的闭包，即 $x\in \overline{S}$。显然，$S\subset \overline{S}$。
如果 $S=\overline{S}$，则 $S$ 称为闭子集。空集 $\varnothing$ 和 $n$维空间 $R^n$（全集） 是 $R^n$ 的闭子集。直观地说，如果一个子集包含它所有的边界点，则它是闭的。例如：闭球 B‾(x,r)={y∈Rn∣ ∥y−x∥≤r}\overline B(x,r)=\{y\in R^n \vert \ \Vert y-x\Vert\le r\}B(x,r)={y∈Rn∣ ∥y−x∥≤r} 是闭集。
显然，一个子集是闭的，当且仅当它的补是开的。
根据上述定义，闭包 $\overline{S}$ 可以写为：
S‾={x∈Rn ∣ lim⁡k∥xk−x∥=0, xk∈S} \overline S = \{ x\in R^n \ \vert \ \lim_{k} \Vert x_k-x\Vert=0,\ x_k\in S\} S={x∈Rn ∣ klim​∥xk​−x∥=0, xk​∈S}

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什么意思呢？即闭包 $\overline{S}$ 集合中的点 $x$ 与集合 $S$ 的距离为零。

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若 $S\subset R^n$ 是凸集，若它是开的，则称为开凸集；若它是闭的，则称为闭凸集。

定理 1.3.6
如果 $C\subset R^n$ 是凸集，那么 $C$ 的闭包 $\overline{C}$ 也是凸集。

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在凸集的研究中另一个有用的概念为凸集的极值点和极值方向。
定义 1.3.7
设 $S\subset R^n$ 是非空凸集，$x\in S$，若 $x$ 不在 $S$ 中任何线段的内部，即，若假设 $x=\theta x_1+(1-\theta )x_2,\text{ and }{x}_1,x_2\in S,\theta \in (0,1)$ 必推出 $x=x_1=x_2$，则称 $x$ 是凸集 $S$ 的极值点。
显然，多边形的顶点和圆周上的任意点都是极值点。

定义 1.3.8
设 $S\subset R^n$ 是闭凸集，$d$ 为非零向量，如果对每一个 $x\in S,x+\lambda d\in S,\forall \lambda \ge 0$，则称向量 $d$ 为 $S$ 的方向。又设$d_1$ 和 $d_2$ 为 $S$ 的两个不同方向。如果 $S$ 的方向 $d$ 不能表示成该集合的两个不同方向的正的线性组合，即如果 $d={\lambda }_1{d}_1+{\lambda }_2{d}_2,{\lambda }_1,{\lambda }_2>0$，必可推出 $d_1=\alpha d_2$，则称 $d$ 为 $S$ 的极值方向。
如下图：

图2 极值方向

考虑多面集
S={x∣ Ax=b,x≥0} S=\{x\vert \ Ax=b,x\ge 0\} S={x∣ Ax=b,x≥0}
其中 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$rank(A)=m,b\in R^m$。不失一般性，设 $A=[B,N]$，其中 $B$ 是 $m\times m$ 非奇异矩阵，$N$ 是 $m\times (n-m)$ 矩阵。设 $x_B,x_N$ 分别是对应于 $B$ 和 $N$ 的向量，
$$Ax=[BN]\left[\begin{array}{c}{x}_B\\ x_N\end{array}\right]=B{x}_B+N{x}_N=b$$
于是，$x$ 是多面集 $S$ 的极值点的充分必要条件是
$$x=\left[\begin{array}{c}{x}_B\\ x_N\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{B}^{-1}b\\ 0\end{array}\right]$$
其中，$B^{-1}b\ge 0$。
$d̸=0$ 是 $S$ 的一个方向，当且仅当 $Ad=0,d\ge 0$。$\overline{d}$ 是 $S$ 的一个极值方向，当且仅当
$$\begin{gathered} B^{-1}{a}_j\le 0,\text{ 对某个 aj 是 N 的列,} \\ \overline{d}=\alpha d=\alpha \left(\begin{array}{c}{B}^{-1}{a}_j\\ e_j\end{array}\right) \end{gathered}$$
其中 $\alpha >0,e_j\in R^{n-m}$ 是单位向量。

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1.3.2 凸函数

定义 1.3.9
设 $S\subset R^n$ 是非空凸集，$\alpha \in (0,1)$，$f$ 是定义在 $S$ 上的函数。如果对任意 $x_1,x_2\in S$，有
$$f(\alpha x_1+(1-\alpha )x_2)\le \alpha f(x_1)+(1-\alpha )f(x_2)(1.3.4)$$
则称函数 $f$ 是 $S$ 上的凸函数。如果当 $x_1̸=x_2$ 时(1.3.4)中严格不等式成立，
$$f(\alpha x_1+(1-\alpha )x_2)<\alpha f(x_1)+(1-\alpha )f(x_2)(1.3.5)$$
则称函数 $f$ 是 $S$ 上的严格凸函数。如果存在一个常数 $c>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in S$，有
$$\alpha f(x_1)+(1-\alpha )f(x_2)\ge f(\alpha x_1+(1-\alpha )x_2)+c\alpha (1-\alpha )\Vert x_1-x_2{\Vert }^2(1.3.6)$$
则称 $f$ 在 $S$ 上是一致凸的。
如果 $-f$ 是 $S$ 上的凸（严格凸）函数，则称 $f$ 是 $S$ 上的凹（严格凹）函数。

图3 凸（凹）函数

凸函数有如下性质：
定理 1.3.10
1）设 $f$ 是定义在凸集 $S$ 上的凸函数，实数 $\alpha \ge 0$，则 $\alpha f$ 也是定义在 $S$ 上的凸函数。
2）设 $f_1,f_2$ 是定义在凸集 $S$ 上的凸函数，则 $f_1+f_2$，也是定义在 $S$ 上的凸函数。
3）设 $f_1,f_2,\cdots ,f_m$ 是定义在凸集 $S$ 上的凸函数，实数 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\ge 0$，则 ${\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{f}_i$ 也是定义在 $S$ 上的凸函数。

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即对正实数乘和加法是封闭的。

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如果凸函数是可微的，我们可以用下面的特征描述凸函数，下面的定理刻画了凸函数的一阶特征。
定理 1.3.11
设 $S\subset R^n$ 是非空开凸集，$f$ 是定义在 $S$ 上的可微函数，则 $f$ 为凸函数的充分必要条件是：
$$f(y)\ge f(x)+\nabla f(x{)}^T(y-x),\forall x,y\in S(1.3.7)$$

图4 凸函数的一阶特征

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证明：
必要性：设 $f$ 是凸函数，于是对所有 $\alpha ,0\le \alpha \le 1$，有
$$f(\alpha y+(1-\alpha )x)\le \alpha f(y)+(1-\alpha )f(x)$$
因此，对于 $0<\alpha \le 1$，
$$\frac{f(x+\alpha (y-x))-f(x)}{\alpha }\le f(y)-f(x)$$
令 $\alpha \to 0$，得
$$\begin{gathered} \nabla f(x{)}^T(y-x)\le f(y)-f(x) \\ \Rightarrow f(y)\ge f(x)+\nabla f(x{)}^T(y-x) \end{gathered}$$
充分性：今设（1.3.7）成立，任取 $x_1,x_2\in S,0\le \alpha \le 1$，令 $x=\alpha x_1+(1-\alpha )x_2$，我们有
$$\begin{gathered} f(x_1)\ge f(x)+\nabla f(x{)}^T(x_1-x) \\ f(x_2)\ge f(x)+\nabla f(x{)}^T(x_2-x) \end{gathered}$$
于是得到
$$\begin{gathered} \alpha f(x_1)+(1-\alpha )f(x_2)\ge f(x)+\nabla f(x{)}^T[\alpha x_1+(1-\alpha )x_2-x] \\ =f(\alpha x_1+(1-\alpha )x_2) \end{gathered}$$
（对于一维凸函数，有
$$\underset{x\to \alpha x_1+(1-\alpha )x_2}{\lim }\frac{f(\alpha x_1+(1-\alpha )x_2)-f(x)}{\alpha x_1+(1-\alpha )x_2-x}=f^{\prime }(\alpha x_1+(1-\alpha )x_2)$$）
这表明 $f(x)$ 是凸函数。

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凸函数的定义 1.3.9 表示了两点的线性插值大于函数值，即函数图形在弦之下。这个定理表明了根据局部导数的线性近似是函数的低估，即凸函数图形位于图形上任一点切线的上方。这样的切线（面）就称为凸函数的一个支撑超平面。

下面，我们对于二次连续可微函数，考虑凸函数的二次特征。
定理 1.3.12
设 $S\in R^n$ 是非空开凸集，$f$ 是定义在 $S$ 上的二次可微函数，则 $f$ 是凸函数的充分必要条件是在 $S$ 的每一点Hesse 矩阵正半定。

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$f$ 在 $x$ 处的 Hesse 矩阵定义为 $n\times n$ 矩阵，其第 $i,j$ 元素为：
$$[{\nabla }^{2}f(x){]}_{ij}=\frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial x_i\partial x_j},1\le i,j\le n$$

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证明：
1）充分性
设 Hesse 矩阵 ${\nabla }^{2}f(x)$ 在每一点 $x\in S$ 正半定。考虑 $x,\overline{x}\in S$，由中值定理，有
$$f(x)=f(\overline{x})+\nabla f(\overline{x}{)}^T(x-\overline{x})+\frac{1}{2}(x-\overline{x}{)}^T{\nabla }^{2}f(\hat{x})(x-\overline{x})$$
其中，$\hat{x}=\overline{x}+\theta (x-\overline{x}),\theta \in (0,1)$。注意到 $\hat{x}\in S$，故由假设（${\nabla }^{2}f(x)$ 在每一点 $x\in S$ 正半定）知：
$$f(x)\ge f(\overline{x})+\nabla f(\overline{x}{)}^T(x-\overline{x})$$
从而，根据定理 1.3.11 可知 $f$ 是凸函数。
2）必要性
设 $f$ 是凸函数，任取 $\overline{x}\in S$，我们要证明 $p^T{\nabla }^{2}f(\overline{x})p\ge 0,\forall p\in R^n$，即证明 ${\nabla }^{2}f(\overline{x})$ 正半定。由于 $S$ 是开集，必存在 $\delta >0$，使当 $|\lambda |<\delta$ 时，$\overline{x}+\lambda p\in S$。根据定理 1.3.11，有
$$f(\overline{x}+\lambda p)\ge f(\overline{x})+\lambda \nabla f(\overline{x}{)}^{T}p(1.3.8)$$
又由于 $f(x)$ 在 $\overline{x}$ 处二次可微，则
$$f(\overline{x}+\lambda p)=f(\overline{x})+\lambda \nabla f(\overline{x}{)}^{T}p+\frac{{\lambda }^2}{2}{p}^{T}G(\overline{x})p+o(\Vert \lambda p{\Vert }^2)(1.3.9)$$
其中 $G(\overline{x})$ 是 $f$ 在 $\overline{x}$ 处的 Hesse 阵。将 (1.3.9) 代入 (1.3.8) 便得到
$$\frac{1}{2}{\lambda }^2{p}^{T}G(\overline{x})p+o(\Vert \lambda p{\Vert }^2)\ge 0$$
上式两边除以 ${\lambda }^2$，并令 $\lambda \to 0$，得
$$p^{T}G(\overline{x})p\ge 0$$
必要性得证。$\square$

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定理 1.3.13
设 $S\subset R^n$ 为非空开凸集，$f$ 是定义在 $S$ 上的可微函数，则 $f$ 为严格凸函数的充分必要条件是
$$f(y)>f(x)+\nabla f(x{)}^T(y-x),\forall y,x\in S,x̸=y(1.3.10)$$
定理 1.3.14
设 $S\subset R^n$ 为非空开凸集，$f$ 是定义在 $S$ 上的二次可微函数，如果在每一点 $x\in S$，Hesse 阵正定，则 $f$ 为严格凸函数，但如果 $f$ 为严格凸函数，则 Hesse 矩阵在 $S$ 的每一点正半定。

和凸函数关系密切的是水平集。下面的定理指出水平集是凸集。
定理 1.3.15
设 $S\subset R^n$ 为非空凸集，$f$ 是定义在 $S$ 上的凸函数，$\alpha$ 是一个实数，则水平集 Lα={x∣ x∈S,f(x)≤α}L_{\alpha}=\{x\vert \ x\in S,f(x)\le \alpha\}Lα​={x∣ x∈S,f(x)≤α} 是凸集。

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证明：
设 $x_1,x_2\in L_{\alpha }$，于是 $x_1,x_2\in S,f(x_1)\le \alpha ,f(x_2)\le \alpha$。
今设 $\lambda \in (0,1),x=\lambda x_1+(1-\lambda )x_2$。由 $S$ 的凸性知道 $x\in S$，又由于 $f$ 是凸函数，故有：
$$\begin{gathered} f(x_1)>f(x)+\nabla f(x{)}^T(x_1-\lambda x_1-(1-\lambda )x_2) \\ =f(x)+\nabla f(x{)}^T(1-\lambda )(x_1-x_2) \\ f(x_2)>f(x)+\nabla f(x{)}^T(x_2-\lambda x_1-(1-\lambda )x_2) \\ =f(x)-\nabla f(x{)}^T\lambda (x_1-x_2) \\ \to \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)>f(x) \\ \to f(x)<\lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)\le \lambda \alpha +(1-\lambda )\alpha =\alpha \end{gathered}$$
因此，$x\in L_{\alpha }$，从而 $L_{\alpha }$ 是凸集。$\square$

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进一步，若 $f$ 是 $S$ 上的连续凸函数，则显然水平集 $L_{\alpha }$ 是闭凸集。

定理 1.3.16
设 $f(x)$ 在 $S\in R^n$ 上二次连续可微，且存在常数 $m>0$，使得：
$$u^T{\nabla }^{2}f(x)u\ge m\Vert u{\Vert }^2,\forall x\in L(x_0),u\in R^n(1.3.11)$$
则水平集 L(x0)={x∈S∣ f(x)≤f(x0)}L(x_0)=\{x\in S\vert \ f(x)\le f(x_0)\}L(x0​)={x∈S∣ f(x)≤f(x0​)} 是有界闭凸集。

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证明：
因为：
$$u^T{\nabla }^{2}f(x)u\ge m\Vert u{\Vert }^2,\forall x\in L(x_0),u\in R^n(1.3.11)$$
所以，$f(x)$ 每一点的 Hesse 矩阵正定，$f(x)$ 为严格凸函数，由定理 1.3.15，可知，水平集 $L(x_0)$ 对于任意 $x_0\in R^n$ 是闭凸集。
现在证明 $L(x_0)$ 的有界性。
因为水平集 $L(x_0)$ 是凸的，由（1.3.11），故 $\forall x,y\in L(x_0)$，
$$m\Vert y-x{\Vert }^2\le (y-x{)}^T{\nabla }^{2}f(x+\alpha (y-x))(y-x)$$
又由 Taylor 展开，(此处，我也不甚了了。)
$$\begin{gathered} f(y)=f(x)+\nabla f(x{)}^T(y-x)+{\int }_0^1{\int }_0^t(y-x{)}^T{\nabla }^{2}f(x+\alpha (y-x))(y-x)d\alpha dt \\ \ge f(x)+\nabla f(x{)}^T(y-x)+\frac{1}{2}m\Vert y-x{\Vert }^2 \end{gathered}$$
其中 $m$ 与 $x,y$ 无关，因此对任意 $y\in L(x_0),y̸=x_0$，
$$\begin{gathered} f(y)-f(x_0)\ge \nabla f(x_0{)}^T(y-x_0)+\frac{1}{2}m\Vert y-x_0{\Vert }^2 \\ \ge -\Vert \nabla f(x_0)\Vert \cdot \Vert y-x_0\Vert +\frac{1}{2}m\Vert y-x_0{\Vert }^2 \end{gathered}$$
上式的第二个不等式是因为 Cauchy-Schwarz 不等式：$|x^{T}y|\le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$。
又由于 $f(y)\le f(x_0)$，故
$$\Vert y-x_0\Vert \le \frac{2}{m}\Vert \nabla f(x_0)\Vert$$
这表明水平集 L(x0)={x∣x∈S,f(x)≤f(x0)}L(x_0)=\{x\vert x\in S,f(x)\le f(x_0)\}L(x0​)={x∣x∈S,f(x)≤f(x0​)} 有界。$\square$

最后，作为函数凸性的一个应用，我们给出 Minkowski 不等式的证明。
Minkowski 不等式：
$$\Vert x+y{\Vert }_p\le \Vert x{\Vert }_p+\Vert y{\Vert }_p$$
即
$${\left(\sum _{i=1}^n|x_i+y_i{|}^p\right)}^{1/p}\le {\left(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p\right)}^{1/p}+{\left(\sum _{i=1}^n|y_i{|}^p\right)}^{1/p}$$
其中，$p\ge 1$.

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证明：
如果 $x$ 或 $y$ 为零向量，则不等式显然成立。故假定 $x̸=0,y̸=0$.
若 $p=1$，由于 $|x_i+y_i|\le |x_i|+|y_i|,i=1,\cdots ,n$.
今设 $p>1$，考虑函数
$$\begin{gathered} \varphi (t)=t^p,t>0 \\ \Rightarrow {\varphi }^{\prime \prime }(t)=p(p-1)t^{p-2} \end{gathered}$$
故函数 $\varphi (t)$ 严格凸。注意到：
$$\frac{\Vert x{\Vert }_p}{\Vert x{\Vert }_p+\Vert y{\Vert }_p}+\frac{\Vert y{\Vert }_p}{\Vert x{\Vert }_p+\Vert y{\Vert }_p}=1$$
于是，由凸函数定义得到
$$\begin{gathered} {\left(\frac{\Vert x{\Vert }_p}{\Vert x{\Vert }_p+\Vert y{\Vert }_p}\frac{|x_i|}{\Vert x{\Vert }_p}+\frac{\Vert y{\Vert }_p}{\Vert x{\Vert }_p+\Vert y{\Vert }_p}\frac{|y_i|}{\Vert y{\Vert }_p}\right)}^p \\ \le \frac{\Vert x{\Vert }_p}{\Vert x{\Vert }_p+\Vert y{\Vert }_p}{\left(\frac{|x_i|}{\Vert x{\Vert }_p}\right)}^p+\frac{\Vert y{\Vert }_p}{\Vert x{\Vert }_p+\Vert y{\Vert }_p}{\left(\frac{|y_i|}{\Vert y{\Vert }_p}\right)}^p \end{gathered}$$
因此
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n{\left(\frac{|x_i+y_i|}{\Vert x{\Vert }_p+\Vert y{\Vert }_p}\right)}^p\le \sum _{i=1}^n{\left(\frac{|x_i|+|y_i|}{\Vert x{\Vert }_p+\Vert y{\Vert }_p}\right)}^p \\ 因为p次函数是凸函数，所以 \\ \le \sum _{i=1}^n\left(\frac{\Vert x{\Vert }_p}{\Vert x{\Vert }_p+\Vert y{\Vert }_p}{\left(\frac{|x_i|}{\Vert x{\Vert }_p}\right)}^p+\frac{\Vert y{\Vert }_p}{\Vert x{\Vert }_p+\Vert y{\Vert }_p}{\left(\frac{|y_i|}{\Vert y{\Vert }_p}\right)}^p\right) \\ \le \frac{\Vert x{\Vert }_p}{\Vert x{\Vert }_p+\Vert y{\Vert }_p}\sum _{i=1}^n{\left(\frac{|x_i|}{\Vert x{\Vert }_p}\right)}^p+\frac{\Vert y{\Vert }_p}{\Vert x{\Vert }_p+\Vert y{\Vert }_p}\sum _{i=1}^n{\left(\frac{|y_i|}{\Vert y{\Vert }_p}\right)}^p \\ =\frac{\Vert x{\Vert }_p}{\Vert x{\Vert }_p+\Vert y{\Vert }_p}\cdot \frac{\Vert x{\Vert }_p^p}{\Vert x{\Vert }_p^p}+\frac{\Vert y{\Vert }_p}{\Vert x{\Vert }_p+\Vert y{\Vert }_p}\cdot \frac{\Vert y{\Vert }_p^p}{\Vert y{\Vert }_p^p}=1 \end{gathered}$$
这样，
$$\sum _{i=1}^n|x_i+y_i{|}^p\le (\Vert x{\Vert }_p+\Vert y{\Vert }_p{)}^p$$
上式两边取p次根即得结果。$\square$