### 题目描述
信息学奥赛一本通 1423：【例题2】种树
题目大意：给定一条直线上的 n 个位置，每个位置有一个权值。你需要选择一些位置种植树木，使得任意两棵树之间的距离至少为 d，并且所选位置的权值之和最大。
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### 解决方案
这是一个经典的动态规划
问题，结合了贪心思想来处理位置的选择。以下是解决方案的详细步骤：
1. **输入数据**：读取位置、权值和最小距离 `d`。
2. **排序**：将所有位置按照从小到大的顺序排列。
3. **动态规划**：
- 定义状态 `dp[i]` 表示在前 `i` 个位置中选择若干个位置种树的最大权值和。
- 转移方程：
- 如果不选择第 `i` 个位置，则 `dp[i] = dp[i-1]`。
- 如果选择第 `i` 个位置，则需要找到上一个可以种树的位置 `j`（满足 `pos[i] - pos[j] >= d`），此时 `dp[i] = dp[j]
+ val[i]`。
- 最终结果为 `dp[n]`。
4. **优化**：为了避免每次寻找 `j` 的线性复杂度，可以使用二分查找加速。
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### 实现代码
以下是完整的
C++ 实现代码：
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct Position {
int pos; // 位置
int val; // 权值
};
bool cmp
(const Position& a, const Position& b) {
return a.pos < b.pos;
}
int main
() {
int n, d;
cin >> n >> d; // 输入位置数量和最小距离
vector<Position> positions
(n);
for
(int i = 0; i < n;
++i) {
cin >> positions[i].pos >> positions[i].val; // 输入每个位置和权值
}
// 按位置排序
sort
(positions.begin
(), positions.end
(), cmp);
// 动态规划数组
vector<int> dp
(n, 0);
// 初始化第一个位置
dp[0] = positions[0].val;
// 动态规划转移
for
(int i = 1; i < n;
++i) {
dp[i] = dp[i - 1]; // 不选择当前点
// 找到上一个可以种树的位置 j
int j = -1;
for
(int k = i - 1; k >= 0; --k) {
if
(positions[i].pos - positions[k].pos >= d) {
j = k;
break;
}
}
if
(j != -1) {
dp[i] = max
(dp[i], dp[j]
+ positions[i].val); // 选择当前点
} else {
dp[i] = max
(dp[i], positions[i].val); // 第一个可以种树的点
}
}
// 输出结果
cout << dp[n - 1] << endl;
return 0;
}
```
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### 代码解释
1. **结构体定义**：
- 使用 `Position` 结构体存储每个位置的坐标和权值。
2. **排序**：
- 将所有位置按照坐标从小到大排序，方便后续动态规划时处理顺序。
3. **动态规划数组**：
- `dp[i]` 表示在前 `i` 个位置中选择若干个位置种树的最大权值和。
4. **状态转移**：
- 对于每个位置 `i`，考虑两种情况：
- 不选择该位置，直接继承 `dp[i-1]`。
- 选择该位置，找到上一个可以种树的位置 `j`，更新 `dp[i] = dp[j]
+ val[i]`。
5. **输出结果**：
- 最终结果为 `dp[n-1]`，表示在所有位置中种树的最大权值和。
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### 时间复杂度分析
- 排序的时间复杂度为 \
(O
(n \log n)\)。
- 动态规划的时间复杂度为 \
(O
(n^2)\)，因为每次需要遍历寻找上一个可以种树的位置。
- 如果使用二分查找优化寻找 `j` 的过程，时间复杂度可以进一步降低到 \
(O
(n \log n)\)。
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###
这篇博客介绍了一个简单的C++程序，用于解决在线题库中常见的A+B问题。程序通过读取两个整数A和B，然后输出它们的和，确保结果在整型范围内。这是一个适合初学者练习的基础编程任务。
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