[USACO3.2]阶乘问题 题解

[USACO3.2]阶乘问题 题解

题目描述

也许你早就知道阶乘的含义，N阶乘是由1到N相乘而产生，如：

$12!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10\times 11\times 12=479,001,600$

$12$的阶乘最右边的非零位为$6$。

写一个程序，计算$N(1\le N\le 50,000,000)$阶乘的最右边的非零位的值。

注意:$10,000,000!$有$2499999$个零。

输入格式

仅一行包含一个正整数$N$。

输出格式

一个整数，表示最右边的非零位的值。

样例 #1

样例输入 #1

12

样例输出 #1

6

提示

USACO Training Section 3.2

Solution

考虑后缀零由$2\times 5$组成，则我们去除后缀零后进行处理

考虑统计出$1-n$中$2$和$5$的个数，显然$2$的个数大于$5$的个数，则后缀零的个数为$5$的个数。

考虑统计不乘$2$和$5$的答案，枚举$1-n$所有与$2,5$互质的数$x$，对于$x$本身和$x$乘$2,5$的若干次方后得到的小于$n$的数，贡献都是$x$，将这么多个$x$乘入答案。

最后将答案乘上$2^{2的个数-5的个数}$，即为答案。

答案全程对$10$取模

示例代码

//#pragma GCC optimize(3)
//#pragma GCC optimize("inline")
//#pragma GCC optimize("Ofast")
//#pragma GCC target("sse3","sse2","sse")
//#pragma GCC diagnostic error "-std=c++14"
//#pragma GCC diagnostic error "-fwhole-program"
//#pragma GCC diagnostic error "-fcse-skip-blocks"
//#pragma GCC diagnostic error "-funsafe-loop-optimizations"
//#pragma GCC optimize("fast-math","unroll-loops","no-stack-protector","inline")
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 100005
#define inf 1000000007
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
using namespace std;
ll n,ans=1,t,cur;
int read(){
	int res=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-'&&((ch=getchar())>='0'&&(ch)<='9')) f=-1;
		else ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')res=res*10+ch-'0',ch=getchar();
	return res*f;
}
int fp(int a,int b){
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1)res=res*a;
		a=a*a;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int fp1(int a,int b){
	int res=1;
	while(b){
		if(b&1)res=res*a%10;
		a=a*a%10;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	n=read();
	cur=n;
	while(cur)cur/=2,t+=cur;
	cur=n;
	while(cur)cur/=5,t-=cur;
	fo(i,3,n){
		if(i%2==0||i%5==0)continue;
		for(int j=0;i*(1<<j)<=n;++j){
			for(int k=0;i*(1<<j)*fp(5,k)<=n;++k)
				ans=ans*i%10;
		}
	}
	ans=ans*fp1(2,t)%10;
	printf("%lld",ans);
}